[論文レビュー] Orbital reducibility and a generalization of lambda symmetries

Giampaolo Cicogna, Giuseppe Gaeta+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、解の軌道を保存する写像を用いてベクトル場を低次元化する方法を導入し、解のパラメータ化に依存しない一般化された還元可能性（軌道還元可能性）の概念を、λ対称性の一般化として提唱する。この枠組みでは、解の軌道を保存する写像を介してベクトル場を還元可能とすることができ、非-autonomousおよび高次系に対しても、標準的埋め込みを用いて同様の枠組みを拡張できる。また、従来のλ対称性よりも広いクラスの対称性に相当する軌道還元可能性が示されている。

ABSTRACT

We review the notion of reducibility and we introduce and discuss the notion of orbital reducibility for autonomous ordinary differential equations of first order. The relation between (orbital) reducibility and (orbital) symmetry is investigated and employed to construct (orbitally) reducible systems. By standard identifications, the notions extend to non-autonomous ODEs of first and higher order. Moreover we thus obtain a generalization of the lambda symmetries of Muriel and Romero. Several examples are given.

研究の動機と目的

• 解のパラメータ化に依存せず、解の軌道を保存する還元可能性の概念を形式化・一般化し、ODEにおける還元可能性の一般化を図ること。
• 軌道還元可能性と軌道的対称性の関係を明確にし、対称性を持つ系から系を体系的に構成できることを示すこと。
• 非-autonomousおよび高次ODEに対して、それらをautonomous first-order系に還元することで、還元可能性の枠組みを拡張すること。
• MurielとRomeroのλ対称性を一般化し、それらが特定のクラスの軌道還元に相当することを示すこと。
• 特に高次方程式に対して、群不変量と共同対称性を用いた構成的手法を提供し、還元可能な系を生成すること。

提案手法

• 解の軌道を保存する滑らかな写像が存在し、ベクトル場を低次元系に還元できる場合に、それを軌道還元可能性と定義する。
• 局所的軌道同値性の概念を用いる：非定常点近傍で同一の第一積分を持つ2つのベクトル場は、軌道的に同値である。
• 対称性ベクトル場の不変関数から還元を構成する。特に、コンパクト連結リー群の不変量を用いる。
• 逆問題の手法を適用する：与えられた写像に対して、それによって還元可能なすべてのベクトル場を特定する。OlverとRosenauの手法を活用する。
• 高次ODEを第一階非-autonomous系に変換し、軌道還元可能性の枠組みを適用することで、次数を低減可能とする。
• 座標変換と不変量を用いて、新たな変数で表された還元系を表現する。例ではヤコビアンとλ関数を明示的に示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ODEにおける還元可能性の概念を、解のパラメータ化に依存せず、解の軌道を保存するようにどのように一般化できるか？
• RQ2 軌道還元可能性と軌道的対称性の正確な関係は何か？すべての軌道的還元可能な系は、対称性を持つ系から体系的に構成可能か？
• RQ3 MurielとRomeroの一般化されたλ対称性は、軌道還元可能性とどのように関係しており、このより広い枠組みに統合可能か？
• RQ4 共同λ対称性を持つ系から、還元可能な高次ODEを体系的に構成可能か？特にλ対称性構造を持つ系に対して。
• RQ5 コンパクトリー群の不変量は、軌道的還元可能な系の構成において果たす役割は何か？また、これをどのようにアルゴリズム的に実装できるか？

主な発見

• 軌道還元可能性は、解の軌道を保存する滑らかな写像が存在し、ベクトル場を低次元系に還元できる場合に定義され、標準的な還元可能性を一般化する。
• システム $ \dot{x} = H(x) $ で $ H(x) = \left( \frac{1}{1+x_1x_2}, \frac{x_2(1+x_1x_2) - x_1}{1+x_1x_2} \right) $ は、$ \dot{z}_1 = 1, \dot{z}_2 = -z_2^2 $ に還元可能であり、還元は不変量 $ \sigma_1 = x_1, \sigma_2 = \frac{x_1}{1+x_1x_2} $ を用いて達成される。
• 2番目の例では、3階ODEが共同$ \lambda $-対称性を持つ系から構成可能であり、不変量 $ \psi_1 = x_0x_2/x_1, \psi_2 = x_0^2x_3/x_1 $ を用いて2次元非-autonomous系に還元可能である。
• 還元系 $ \dot{z}_1 = z_1 - z_1^2 + z_2, \dot{z}_2 = 2z_2 - z_1z_2 $ は $ z_1 $ に関して非-autonomousであり、非-autonomous第一階方程式 $ dz_2/dz_1 = (2z_2 - z_1z_2)/(z_1 - z_1^2 - z_2) $ に相当する。
• 対称性を持つ系から高次還元可能な方程式を構成することは可能であるが、代数的に複雑であることが示された。特に、$ x $-座標から導かれた3階方程式は長大である。
• 本稿では、コンパクトリー群の不変量による軌道還元可能性が、標準的対称性に基づく還元を超える体系的な還元可能な系の生成法を提供することを示している。