[論文レビュー] Orbits of monomials and factorization into products of linear forms

Pascal Koiran, Nicolas Ressayre|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、不変理論およびリー代数を活用して、多変数多項式を一次形式の積に因数分解する、画期的なブラックボックスアルゴリズムを提示する。この手法により、問題は同時行列の対角化に還元される。主な貢献は、異なる一次形式の数が有界な多項式に対して、特にワーリング分解や対称テンソル分解の文脈において、既存の手法を上回る計算効率を実現する方法が得られたことである。

ABSTRACT

This paper is devoted to the factorization of multivariate polynomials into products of linear forms, a problem which has applications to differential algebra, to the resolution of systems of polynomial equations and to Waring decomposition (i.e., decomposition in sums of d-th powers of linear forms; this problem is also known as symmetric tensor decomposition). We provide three black box algorithms for this problem. Our main contribution is an algorithm motivated by the application to Waring decomposition. This algorithm reduces the corresponding factorization problem to simultaenous matrix diagonalization, a standard task in linear algebra. The algorithm relies on ideas from invariant theory, and more specifically on Lie algebras. Our second algorithm reconstructs a factorization from several bi-variate projections. Our third algorithm reconstructs it from the determination of the zero set of the input polynomial, which is a union of hyperplanes.

研究の動機と目的

• 多変数多項式を一次形式の積に因数分解する、効率的なブラックボックスアルゴリズムの開発。これはワーリング分解や対称テンソル分解の根幹をなす問題である。
• 多項式の評価値しか入手できないブラックボックスモデルにおける因数分解の計算的課題に対処すること。
• 特にリー代数や軌道の閉包を含む不変理論の道具を用いて、多変数多項式因数分解の根本的問題を解くこと。
• 特に一次独立な形式の積である多項式に対して、実用的で効率的な従来の因数分解アルゴリズムの代替を提供すること。
• 一般化ヘッシアンの一次形式への因数分解に帰着させることで、ワーリング分解の効率的再構成を可能にすること。

提案手法

• 主アルゴリズムは、多項式に関連するリー代数から導かれる可換行列の同時対角化に帰着させることで、因数分解問題を簡略化する。
• 単項式への一般線型群の作用を用いて、一次独立な形式のべきの積に因数分解可能な多項式の軌道を特徴付ける。
• 多項式の微分からリー代数を構成し、その構造を用いて因数分解に現れる一次形式を同定する。
• 再構成のため、線形変換を用いて多項式を2変数部分空間に射影し、射影された多項式に対して単変数因数分解を実行する。
• 多項式の零点集合（超平面の和集合と仮定）から因数分解を再構成する。この際、超平面とその重複度を同定する。
• 高速フーリエ変換（FFT）を用いた補間により、単位根における多項式の評価を高速化し、各射影ごとにO(d log d)の演算で単変数補間を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変理論的手法を用いて、ブラックボックスモデルにおいて多変数多項式を一次形式の積に効率的に因数分解することは可能か？
• RQ2 多項式に関連するリー代数の構造をどのように活用してその一次因数を回復できるか？
• RQ3 2変数射影または多項式の零点集合から因数分解を再構成する際の計算複雑度は何か？
• RQ4 リー理論的アプローチは、どのような条件下で従来のブラックボックス因数分解アルゴリズムを上回るか？
• RQ5 この手法を用いて、ヘッシアンの因数分解により、同次多項式のワーリング分解を効率的に計算できるか？

主な発見

• 提示されたリー理論的アルゴリズムは、因数分解問題を標準的な線形代数のタスクである同時行列の対角化に還元し、効率的な計算を可能にする。
• ブラックボックスモデルでは算術的複雑度がO(n²θ + n³d)であり、ホワイトボックスモデルではO(n²θ)に大幅に改善される。
• k ≤ d 個の異なる一次因数を持つ多項式に対して、複雑度はO(k(kn² + nθ) + dn(n + log d))である。dがnの多項式関数である場合には有利である。
• d > n²θ⁻² の場合、ワーリング分解の文脈において、カルトフェンのヘッシアン因数分解アルゴリズムを上回る性能を示す。
• FFTの使用により、各射影ごとにO(d log d)の演算で単変数補間が実現され、射影多項式の評価および因数分解コストが顕著に削減される。
• 本アルゴリズムは、2変数射影または多項式の零点集合の両方から因数分解を効率的かつ安定に再構成でき、両アプローチともに強固で効率的である。