[論文レビュー] Order-Invariant MSO is Stronger than Counting MSO in the Finite

Tobias Ganzow, Sasha Rubin|ArXiv.org|Jun 26, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限構造において順序に依存しないモノディック第二階論理（MSO）が、数え上げMSO（CMSO）よりも厳密に表現力が強いことを確立している。著者たちは、順序に依存しないMSOで定義可能だがCMSOでは定義不可能なグリッド構造に類似したグラフのクラスを構成することで、Courcelleの予想を証明した。この証明は、CMSOの定義可能性に特化したEhrenfeucht-Fraïsséゲームの特徴付けに基づいている。

ABSTRACT

We compare the expressiveness of two extensions of monadic second-order logic (MSO) over the class of finite structures. The first, counting monadic second-order logic (CMSO), extends MSO with first-order modulo-counting quantifiers, allowing the expression of queries like ``the number of elements in the structure is even''. The second extension allows the use of an additional binary predicate, not contained in the signature of the queried structure, that must be interpreted as an arbitrary linear order on its universe, obtaining order-invariant MSO. While it is straightforward that every CMSO formula can be translated into an equivalent order-invariant MSO formula, the converse had not yet been settled. Courcelle showed that for restricted classes of structures both order-invariant MSO and CMSO are equally expressive, but conjectured that, in general, order-invariant MSO is stronger than CMSO. We affirm this conjecture by presenting a class of structures that is order-invariantly definable in MSO but not definable in CMSO.

研究の動機と目的

• 有限構造上での順序に依存しないMSOが、数え上げMSO（CMSO）よりも厳密に表現力が強いというCourcelleの予想を解決すること。
• 標準的なMSO用のEhrenfeucht-Fraïsséゲームを拡張し、CMSOの定義可能性を特徴付けるゲーム的特徴付けを提供すること。
• 順序に依存しないMSOでは定義可能だがCMSOでは定義不可能な有限構造の具体的なクラス（クライQUEYグリッド）を構成すること。
• 表現力の差が、特定の構造に依存しない任意の線形順序を用いる能力に起因することを示すこと。
• モジュロ算術条件を含む推移的閉包クエリが、モジュロ数え上げ量子化子を含んでもCMSOでは表現できないことの証明。

提案手法

• 有限集合 $ M \subseteq \mathbb{N}^+ $ を用いて $ |X| \equiv |Y| \pmod{M} $ を表現するモジュロ数え上げ制約を組み込んだ、CMSO用の拡張Ehrenfeucht-Fraïsséゲームを導入する。
• 水平方向と垂直方向の次元の間に $ k \mid \ell $ を満たすようなクライQUEYグリッド $ \mathfrak{G}_{k\ell} $ のクラス $ \mathcal{C} $ を定義し、このクラスが順序に依存しないMSO文で定義可能であることを示す。
• グリッドをぐるりと回る対角ステップに基づくスウトウパス構成を行い、任意の線形順序を用いて後続関係を定義する。
• 構造 $ \mathfrak{G}_{k\ell_1} \in \mathcal{C} $ と $ \mathfrak{G}_{k\ell_2} \not\in \mathcal{C} $ を構成し、$ \ell_1 = 2^{kr+1} \cdot \text{lcm}(M) $、$ \ell_2 = \ell_1 + \text{lcm}(M) $、$ k = 2^s $ かつ $ 2^s \nmid \text{lcm}(M) $ を満たすようにする。
• 任意の $ r $ および $ M $ に対して $ \mathfrak{G}_{k\ell_1} \equiv_r^M \mathfrak{G}_{k\ell_2} $ が成り立つことを証明し、拡張されたゲームにおいて区別不能であることを示す。
• ゲームの同値性により $ \mathcal{C} $ がCMSOで定義可能でないことが示され、一方で順序に依存しないMSOでは定義可能であるため、厳密な階層が成立することが結論づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限構造上での順序に依存しないMSOは、CMSOよりも厳密に表現力が強いのか？
• RQ2 有限構造のクラスが順序に依存しないMSO文で定義可能であるが、いかなるCMSO文でも定義可能でない例は存在するか？
• RQ3 外部の線形順序を順序に依存しない方法で用いることで、MSOの表現力はどの程度向上するのか？
• RQ4 標準的なEhrenfeucht-Fraïsséゲームを、モジュロ数え上げ制約を反映する形でCMSOの定義可能性を捉えるように拡張できるか？
• RQ5 MSOに推移的閉包を追加することで、モジュロ数え上げを含んでもCMSOを超える表現力が得られるのか？

主な発見

• 水平方向と垂直方向の次元の間に $ k \mid \ell $ を満たすクライQUEYグリッド $ \mathfrak{G}_{k\ell} $ のクラス $ \mathcal{C} $ は、グリッドをぐるりと回るスウトウパスを用いて、順序に依存しないMSO文で定義可能である。
• 任意の $ r \in \mathbb{N} $ および有限集合 $ M \subseteq \mathbb{N}^+ $ に対して、$ \mathfrak{G}_{k\ell_1} \in \mathcal{C} $、$ \mathfrak{G}_{k\ell_2} \not\in \mathcal{C} $ であるが、$ \mathfrak{G}_{k\ell_1} \equiv_r^M \mathfrak{G}_{k\ell_2} $ が成り立つような $ \ell_1, \ell_2 $ が存在し、拡張されたゲームにおいて区別不能であることを示す。
• 構成により $ k = 2^s $ かつ $ 2^s \nmid \text{lcm}(M) $ が保証され、これにより $ k \nmid \ell_2 $ が成り立ち、$ \ell_2 $ は $ \ell_1 + \text{lcm}(M) $ に関連するクラスに属さない。
• ゲームの同値性から、$ \mathcal{C} $ はCMSOで定義可能でないことが、CMSO定義可能性のゲーム的特徴付けに基づいて示される。
• この結果により、有限構造上での順序に依存しないMSOがCMSOよりも厳密に強いことが確認され、Courcelleの予想が解決された。
• 分離例は、$ \mathrm{(D)TC}^1[{<}]_{\mathit{inv}} $ が、モジュロ数え上げ述語を含んでも $ \mathrm{(D)TC}^1 $ よりも厳密に強いことを示すように適応可能である。