[論文レビュー] Order of Starlikeness and Convexity of certain integral transforms using duality techniques

Satwanti Devi, A. Swaminathan|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、双対性技術を用いて、正則関数の積分変換における星型性および凸性の順序を調査する。変換 $V_\lambda(f)$ がクラス $\mathcal{W}_\beta(\alpha,\gamma)$ からパスカクラス $M(\sigma,\xi)$ へ写像するための核関数 $\lambda(t)$ に対する必要十分条件を導出し、既知の結果を一般化するとともに、特に $\xi=1$（凸性）および $\sigma=0$ の場合に鋭い境界を与える。

ABSTRACT

For $α\geq 0$, $β<1$ and $γ\geq 0$, the class $\mathcal{W}_β(α,γ)$ satisfies the condition \begin{align*} { m Re\,} \left( e^{iϕ}\left((1-α+2γ)f/z+(α-2γ)f'+ γzf''-β ight)\frac{}{} ight)>0, \quad ϕ\in {\mathbb{R}},{\,}z\in {\mathbb{D}}; \end{align*} is taken into consideration. The Pascu class of $ξ$-convex functions of order $σ$ $(M(σ,{\,}ξ))$, having analytic characterization \begin{align*} { m Re\,}\frac{ξz(zf'(z))'+(1-ξ)zf'(z)}{ξzf'(z)+(1-ξ)f(z)}>σ,\quad 0\leq σ< 1,\quad z\in {\mathbb{D}}, \end{align*} unifies starlike and convex functions class of order $σ$.The admissible and sufficient conditions on $λ(t)$ are investigated so that the integral transforms \begin{align*} V_λ(f)(z)= \int_0^1 λ(t) \frac{f(tz)}{t} dt, \end{align*} maps the function from $\mathcal{W}_β(α,γ)$ into $M(σ,{\,}ξ)$. Further several interesting applications, for specific choice of $λ(t)$ are discussed which are related to the classical integral transform.

研究の動機と目的

• 核関数 $\lambda(t)$ に対する許容的かつ十分な条件を特定し、積分変換 $V_\lambda(f)$ が $\mathcal{W}_\beta(\alpha,\gamma)$ からパスカクラス $M(\sigma,\xi)$ へ写像するようにすること。
• 特に $\xi=0$（星型性）および $\xi=1$（凸性）の場合に、積分変換の単葉性および凸性に関する既存の結果を一般化・精緻化すること。
• 双対性技術および積分不等式を用いて、$\lambda(t)$ のパラメータに関する以前の境界を改善すること、特に $\xi=1$ の場合に注目する。
• $\sigma$, $\xi$, および $\lambda(t)$ のパラメータに関する明示的な制約を含む、$V_\lambda(f) \in M(\sigma,\xi)$ であるための新しい十分条件を提示すること。

提案手法

• クラス $\mathcal{W}_\beta(\alpha,\gamma)$ および $M(\sigma,\xi)$ を定義する解析的条件を双対性技術を用いて分析し、それらを積分変換を通じて結びつける。
• ハダマール積表現を適用して、変換 $V_\lambda(f)(z)$ を畳み込みとして表現し、劣分数および微分的劣分数の技法を用いることを可能にする。
• 核関数 $\lambda(t)$ の対数微分およびその第二導関数を分析することにより、$\lambda(t)$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, および $\sigma$ を含む重要な不等式を導出する。
• 特に $\log(1/t)$ を用いた積分表現および対数変換を用い、問題を $\log(1/t)$ に関する二次形式の非負性の確認に還元する。
• $t \in (0,1)$ に対して $\log(1/t) \geq 2(1-t)/(1+t)$ が成り立つことを利用して、必要な劣分数を確立するための十分条件を導出する。
• 特にべき乗対数型および有理型の形をとる $\lambda(t)$ を検討し、$\sigma$ およびパrameter 範囲の明示的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核関数 $\lambda(t)$ がどのような条件下に、積分変換 $V_\lambda(f)$ が $\mathcal{W}_\beta(\alpha,\gamma)$ をパスカクラス $M(\sigma,\xi)$ へ写像するか。
• RQ2 導出された $\sigma$ および $\lambda(t)$ のパラメータの境界が、先行研究のものと比較してどのように異なるか、特に $\xi=1$（凸性）および $\xi=0$（星型性）の場合に注目する。
• RQ3 双対性技術は、$V_\lambda(f)$ の単葉性および星型性／凸性の順序に関して、既存の結果よりも鋭いか、より一般な条件を導くことができるか。
• RQ4 $\mu$, $\nu$, $\xi$, および $\sigma$ のパラメータが、$\lambda(t)$ の許容的クラスを決定する上で果たす役割は何か。
• RQ5 特に $t^a \log(1/t)$ や有理関数などの $\lambda(t)$ の特定の形は、$\sigma$ に対する境界にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 形式 $t^a \log(1/t)$ で表される $\lambda(t)$ に対して、$-1 < a \leq 0$ のとき、$\left(\frac{1}{\xi} + \frac{2}{\mu} - \frac{1}{\nu}\right) \geq 2$ かつ $0 \leq \sigma \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1/\mu - 1/\nu}{1 + 1/\mu - 1/\nu}\right)$ ならば、変換 $V_\lambda(f)$ は $M(\sigma,\xi)$ に属する。
• $\xi = 1$ の場合、結果は [16, Theorem 5.9] よりも鋭い境界を提供し、$\lambda(t)$ のパrameter $a$ の範囲についてよりタイトな制限を与える。
• 形式 $\frac{(1-k)(3-k)}{2}t^{-k}(1-t^2)$ で表される $\lambda(t)$ に対して、$0 \leq k < 1$ のとき、$k = 1 - \frac{1}{\xi} - \frac{2}{\mu} + \frac{1}{\nu}$ かつ $\sigma = \frac{1}{2}$ ならば、変換は $M(\sigma,\xi)$ へ写像する。
• $\xi = 0$ の場合 [15, Theorem 5.4] および $\xi = 1$ の場合 [16, Theorem 5.9] に比べ、$\sigma$ の導出された境界は、$a$ および $\sigma$ の範囲においてより鋭いものである。
• 双対性を用いることで、星型性（$\xi=0$）と凸性（$\xi=1$）の両方の条件を統一したフレームワーク内で、以前の結果を一般化した。
• 解析により、星型関数と凸関数を統合するクラス $M(\sigma,\xi)$ が、$\lambda(t)$ に関する導出された条件のもとで変換 $V_\lambda(f)$ によって保存されることを確認した。