[論文レビュー] Order-theoretic properties of bases in topological spaces I

Menachem Kojman, David Milovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、位相空間の積およびボックス積における位相的基数不変量であるノエーター型（Nt）を調査する。Ntは積において減少しうること、特定のコンパクトクラスにおいて二乗や稠密部分空間の埋め込みで保存されること、また可算台付きボックス積においてZFCとは独立であること、しかしPCF理論により弱化されたシェラの自由性という概念を用いてZFC上界が得られることを示している。

ABSTRACT

Abstract. We study some cardinal invariants of an order-theoretic fashion on products and box products of topological spaces. In particular, we concentrate on the Noetherian type (Nt), defined by Peregudov in the 1990s. Some highlights of our results include: (1) There are spaces X and Y such that Nt(X × Y) < min{Nt(X), Nt(Y)}. (2) In several classes of compact spaces, the Noetherian type is preserved by their square and their dense subspaces. (3) The Noetherian type of some countably supported box products cannot be determined in ZFC. In particular, it is sensitive to square principles and some Chang Conjecture variants. (4) PCF theory can be used to provide ZFC upper bounds to Noetherian type on countably supported box products. The underlying combinatorial notion is a weakening of Shelah’s freeness. 1.

研究の動機と目的

• 位相空間の積およびボックス積におけるノエーター型（Nt）の順序論的挙動を分析すること。
• コンパクト空間のさまざまなクラスにおいて、Ntが二乗や稠密部分空間の埋め込みで保存されるかどうかを特定すること。
• 可算台付きボックス積におけるNtの集合論的独立性を調査すること。
• PCF理論を用いて、可算台付きボックス積におけるNtのZFC上界を導出すること。
• シェラの自由性の弱体化形を導入し、Ntの上界を求めるための組合せ論的道具として研究すること。

提案手法

• 位相空間の基底における順序論的手法を用いてノエーター型を分析する。
• Nt(X × Y) が min{Nt(X), Nt(Y)} よりも厳密に小さい例を構成することで、積におけるNtの単調性の欠如を示す。
• 強制法とスケアープリンシプルを用いて、可算台付きボックス積におけるNtのZFC独立性を示す。
• PCF理論を用いて、可算台付きボックス積におけるNtのZFC上界を確立する。
• シェラの自由性概念の弱体化を導入し、Ntの上界を求める背後にある組合せ論的構造を捉える。
• コンパクト空間とその稠密部分空間に注目し、二乗や埋め込みにおけるNtの保存を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積空間 X × Y のノエーター型が、X と Y のノエーター型の最小値よりも厳密に小さいことはあり得るか？
• RQ2 さまざまなコンパクト空間のクラスにおいて、ノエーター型は二乗や稠密部分空間への移行で保存されるか？
• RQ3 可算台付きボックス積のノエーター型は、ZFCからどの程度独立しているか？
• RQ4 PCF理論を用いて、可算台付きボックス積のノエーター型のZFC上界を導出できるか？
• RQ5 シェラの自由性の弱体化形は、基底の構造とノエーター型の関係においてどのように関係するか？

主な発見

• Nt(X × Y) < min{Nt(X), Nt(Y)} を満たす位相空間 X と Y が存在し、Ntが積において単調でないことを示している。
• いくつかのコンパクト空間のクラスにおいて、ノエーター型は二乗演算および稠密部分空間への移行で保存される。
• 可算台付きボックス積のノエーター型はZFCのみでは決定できず、スケアープリンシプルやチャングの予想の変種に依存する。
• PCF理論により、可算台付きボックス積におけるノエーター型のZFC上界が得られ、シェラの自由性の組合せ論的弱体化を用いている。
• 導入されたシェラの自由性の弱体化形は、ボックス積におけるNtの上界を求めるために必要な構造を十分に捉えている。
• 結果として、ノエーター型は特にボックス積構成において無限積において複雑な集合論的挙動を示すことが明らかになった。