[論文レビュー] Orderings of mapping class groups after Thurston

Hamish Short, Bert Wiest|ArXiv.org|Jul 15, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 44

ひとこと要約

本稿では、双曲的普遍被覆の無限遠境界における作用を活用することで、Thurstonの幾何的アプローチに基づく自然な方法を提示し、境界を持つ曲面の写像類群の左順序付けを構成する。主な貢献は、この構成から得られるブレード群の順序付けを、有限型（離散的、有限個の同値類）と無限型（非離散的、非可算無限個）に完全に分類することであり、有限型の場合は曲線図を用いた完全な組合せ的分類がなされている。

ABSTRACT

We are concerned with mapping class groups of surfaces with nonempty boundary. We present a very natural method, due to Thurston, of finding many different left orderings of such groups. The construction involves equipping the surface with a hyperbolic structure, embedding the universal cover in the hyperbolic plane, and extending the action of the mapping class group on it to its limit points on the circle at infinity. We classify all orderings of braid groups which arise in this way. Moreover, restricting to a certain class of ``nonpathological'' orderings, we prove that there are only finitely many conjugacy classes of such orderings.

研究の動機と目的

• 双曲的構造と無限遠円周上の作用を用いたThurstonの幾何的構成から生じるブレード群のすべての左順序付けを分類すること。
• 写像類群の境界における双曲的普遍被覆の境界上の力学的作用を通じて、境界付き曲面の写像類群の順序付けの構造を理解すること。
• その位相的および組合せ的性質に基づいて、有限型（離散的、有限個の同値類）と無限型（非離散的、非可算無限個）の二つの順序付けのクラスを区別し、特徴づけること。
• 有限型順序付けの同値類は有限個に限られ、無限型順序付けは非可算無限個の族を形成することを証明すること。
• 有限型順序付けと曲線図の間の対応関係を確立し、これにより有限型順序付けの完全な組合せ的分類が可能になること。

提案手法

• Thurstonの方法を用いる：曲面に双曲的構造を導入し、双曲平面に引き上げ、写像類群の作用を無限遠円周に拡張する。
• 無限遠円周上の作用を活用し、Rにおける点の軌道を介して、写像類群に左不変順序を定義する。
• 二つの順序付けのクラスを定義する：有限型（離散的、有限軌道から生じる）と無限型（非離散的、無限軌道から生じる）。
• 曲線図を有限型順序付けの表現および分類のための組合せ的道具として導入し、それがまさにこのような順序付けと一対一に対応することを示す。
• Dehnねじりが普遍被覆内の測地線に与える作用により、特に反復逆ねじりの極限を介して、順序付けの振る舞いを明示的に制御できることを活用する。
• 初期測地線の部分のホモトピーと、曲線の近似（例：τα⁺がταに近づくこと）を用いた位相的議論により、所望の順序付け性質を有する特定のホメオモルフィズムを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Thurstonの幾何的構成（無限遠境界における作用を用いて）から生じるブレード群の左順序付けは、どのようなものか？
• RQ2 この構成において、有限型と無限型の順序付けはどのように区別され、それらの力学的および位相的性質はどのように異なるか？
• RQ3 有限型順序付けの同値類は有限個に限られ、完全に分類可能か？
• RQ4 曲線図は、Thurstonの構成から生じる有限型順序付けを完全に組合せ的に記述可能か？
• RQ5 無限型順序付けの集合の濃度と構造は何か？また、有限型とはどのように異なるか？

主な発見

• ブレード群の有限型順序付けは離散的であり、有限軌道を持つ点から生じる。このような順序付けの同値類は有限個に限られる。
• 無限型順序付けは非離散的であり、非可算無限個の族を形成する。これは、順序付けの空間における豊かで複雑な構造を示している。
• すべての有限型順序付けは、曲線図を用いた組合せ的分類が可能であり、それらはまさにこのような図と一対一に対応する。
• αおよびβ順序付けにおける符号の混合を示すホメオモルフィズムの構成は、十分に大きなkに対してTα⁺⁻ᵏ ∘ Tβ⁺を適切に選ぶことで達成される。
• 反復逆DehnねじりTα⁺⁻ᵏ(δ) → δr（k→∞のとき）の極限挙動により、十分に大きなkに対してTα⁺⁻ᵏ(β⁺) < βが成り立ち、所望の符号性質を持つ順序付けの構成が可能になる。
• 本手法により、曲線図を用いた有限型順序付けの完全な分類が確立され、それらを明示的かつ効果的に理解・列挙するための具体的な方法が得られた。