[論文レビュー] Orderly generation of Butson Hadamard matrices

Pekka H.J. Lampio, Patric R. J. Östergård+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、順序正しい生成法（orderly generation）を用いて、小さな $ n $ および $ q $ に対するバーツン型複素ヘルミート行列 $\mathrm{BH}(n,q)$ のコンピュータ支援分類を提示する。この手法により同値性を除外した網羅的列挙が保証される。主な結果として、単項同値性の下で、ちょうど 72 個の $\mathrm{BH}(21,3)$、1,786,763 個の $\mathrm{BH}(16,4)$、167,776 個の $\mathrm{BH}(14,6)$ 行列が列挙された。さらに、$\mathrm{BH}(14,10)$ 行列の初の構成が得られ、$\mathrm{BH}(8,15)$、$\mathrm{BH}(11,q)$（$q \in \{10,12,14,15\}$）、および $\mathrm{BH}(13,10)$ 行列の非存在性が証明された。

ABSTRACT

In this paper Butson-type complex Hadamard matrices $\mathrm{BH}(n,q)$ of order $n$ and complexity $q$ are classified for small parameters by computer-aided methods. Our main results include the enumeration of $\mathrm{BH}(21,3)$, $\mathrm{BH}(16,4)$, and $\mathrm{BH}(14,6)$ matrices. There are exactly $72$, 1786763, and $167776$ such matrices, up to monomial equivalence. Additionally, we show an example of a $\mathrm{BH}(14,10)$ matrix for the first time, and show the nonexistence of $\mathrm{BH}(8,15)$, $\mathrm{BH}(11,q)$ for $q\in\{10,12,14,15\}$, and $\mathrm{BH}(13,10)$ matrices.

研究の動機と目的

• 小さな $ n $ および $ q $ に対するバーツン型複素ヘルミート行列 $\mathrm{BH}(n,q)$ のコンピュータ支援分類を、順序正しい生成法を用いて行う。
• 既存の $ n \leq 10 $、$ q \leq 14 $ の範囲を超えて、$\mathrm{BH}(n,q)$ 行列の存在および非存在に関する先行研究を拡張する。
• 初の明示的構成として $\mathrm{BH}(14,10)$ 行列を提供し、いくつかの未解決事例の非存在性を証明する。
• 定理 4.6 を用いて、虚数の $\mathrm{BH}(n,6)$ 行列と $\mathrm{BH}(2n,4)$ 行列の間の構造的関係を確立する。
• 生成された行列を公開用電子補足資料として提供し、今後の研究を支援する。

提案手法

• 著者らは、単項同値性の下での同値性を除外した網羅的列挙を実現するため、順序正しい生成法（canonical labeling technique）を用いる。
• 行列は、$ q $ 乗根の指数に対応する $ L(H) \in \mathbb{Z}_q^{n \times n} $ の対数形式で表現される。
• 探索空間を削減するために、第1列を固定し、行を辞書式順序に並べる第二列の枝刈り戦略を採用する。
• 非存在性の証明中に探索木を枝刈りするために、グラフ彩色およびクリーク探索ライブラリである Cliquer を用い、完全な直交行列拡張の存在をチェックする。
• 重複を減らし、正規化された表現を保証するために、すべての行列をデフェイズ化（第1行および第1列を0に設定）する。
• 非存在性の結果は、Cliquer を使用した場合と使用しない場合の両方で検証され、再現性を確保し、外部ライブラリへの依存を避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単項同値性の下で、$\mathrm{BH}(21,3)$ 行列はいくつ存在するか？
• RQ2 単項同値性の下で、$\mathrm{BH}(16,4)$ 行列はいくつ存在するか？
• RQ3 $\mathrm{BH}(14,10)$ 行列は存在するか？ もし存在するならば、構成可能か？
• RQ4 $\mathrm{BH}(11,q)$ 行列は $q \in \{10,12,14,15\}$ の場合に存在するか？ その存在状態は？
• RQ5 $\mathrm{BH}(13,10)$ 行列は構成可能か、あるいは非存在性が証明可能か？

主な発見

• 単項同値性の下で、ちょうど 72 個の $\mathrm{BH}(21,3)$ 行列が存在する。
• 単項同値性の下で、$\mathrm{BH}(16,4)$ 行列の数は 1,786,763 個である。
• 単項同値性の下で、ちょうど 167,776 個の $\mathrm{BH}(14,6)$ 行列が存在する。
• $\mathrm{BH}(14,10)$ 行列が初の構成が得られた。
• 本稿では、$\mathrm{BH}(8,15)$ 行列の非存在性が証明された。
• $\mathrm{BH}(11,q)$ 行列についても、$q \in \{10,12,14,15\}$ の場合に非存在性が確立された。また、$\mathrm{BH}(13,10)$ 行列についても非存在性が証明された。