[論文レビュー] Ore Extensions of Extended Symmetric and Reversible Rings

Mohamed Louzari, L'moufadal Ben Yakoub|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Ore拡張 $ R[x;\sigma,\delta] $ において対称性と可逆性が保存される条件を確立する。$ R $ が $ (\sigma,\delta) $-歪Armendarizであり、かつ $ a\sigma(b)=0 \Rightarrow ab=0 $ を満たすならば、$ R $ が対称的（それぞれ可逆的）であることと、$ R $ が $ \sigma $-対称的（それぞれ $ \sigma $-可逆的）であることと、$ R[x;\sigma,\delta] $ が対称的（それぞれ可逆的）であることの間には同値関係が成り立つ。さらに、Ore拡張におけるBaer、準Baer、p.q.-Baer性質に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

Let $σ$ be an endomorphism and $δ$ an $σ$-derivation of a ring $R$. In this paper, we show that if $R$ is $(σ,δ)$-skew Armendariz and $aσ(b)=0$ implies $ab=0$ for $a,b\in R$. Then $R$ is symmetric (respectively, reversible) if and only if $R$ is $σ$-symmetric (respectively, $σ$-reversible) if and only if $R[x;σ,δ]$ is symmetric (respectively, reversible). Moreover, we study on the relationship between the Baerness, quasi-Baerness and p.q.-Baerness of a ring $R$ and these of the Ore extension $R[x;σ,δ]$. As a consequence we obtain a partial generalization of \cite{hong/2000}.

研究の動機と目的

• 環 $ R $ からそのOre拡張 $ R[x;\sigma,\delta] $ への対称性および可逆性の伝達を調査すること。
• Ore拡張と歪微分を伴う文脈において、$ \sigma $-rigid、Armendariz、可逆的環に関する既知の結果を拡張すること。
• Ore拡張におけるBaer、準Baer、p.q.-Baer性質の保存を一般化すること。
• $ \sigma $-対称性、$ \sigma $-可逆性、および $ R $ における古典的対称性／可逆性の関係を明確にすること。
• [11] における $ \sigma $-rigid 環に関する結果を、より広いクラスの $ (\sigma,\delta) $-歪Armendariz 環へ部分的に一般化すること。

提案手法

• 条件 $ \mathcal{C}_\sigma $：$ a\sigma(b)=0 \Rightarrow ab=0 $ を導入し、$ \sigma $-可逆性と古典的可逆性を結びつける。
• $ (\sigma,\delta) $-歪Armendariz 環を用いる。ここで、$ R[x;\sigma,\delta] $ において $ pq=0 $ ならば、すべての $ i,j $ に対して $ a_i \sigma^i(b_j) = 0 $ が成り立つ。
• Ore拡張における再帰的係数解析を適用し、恒等式 $ x^na = \sum_{i=0}^n f_i^n(a)x^i $ を利用する。ここで $ f_i^n $ は $ \sigma $ と $ \delta $ の合成関数である。
• 零化子技術を用いる：部分集合 $ A \subseteq R[x;\sigma,\delta] $ に対して、係数集合 $ A^* $ を通じて零化子を分析する。
• $ R $ が右 $ \sigma $-可逆的であり、かつ $ \mathcal{C}_\sigma $ を満たすならば、$ R[x;\sigma,\delta] $ はBaer、準Baer、p.q.-Baer性質を継承することを確立する。
• 補題 4.1 を用いて、$ e \in r_R(A^*) $ ならば $ e \in r_{R[x;\sigma,\delta]}(A) $ であることを示し、拡張における零化子の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ R $ が対称的（または可逆的）であることと、$ R[x;\sigma,\delta] $ が対称的（または可逆的）であることの同値条件は何か？
• RQ2 $ (\sigma,\delta) $-歪Armendariz 条件と $ \mathcal{C}_\sigma $ 条件が、対称性および可逆性の保存にどのように作用するか？
• RQ3 $ R $ が $ \mathcal{C}_\sigma $ および $ \sigma $-可逆的を満たすとき、Baer、準Baer、p.q.-Baer性質が $ R[x;\sigma,\delta] $ にどの程度保存されるか？
• RQ4 $ \sigma $-rigid 環に関する結果を、$ \mathcal{C}_\sigma $ を満たす $ (\sigma,\delta) $-歪Armendariz 環へ一般化できるか？
• RQ5 $ \sigma $-適合性および $ \delta $-適合性は、Ore拡張への環論的性質の伝達において果たす役割は何か？

主な発見

• $ R $ が $ (\sigma,\delta) $-歪Armendariz であり、かつ $ \mathcal{C}_\sigma $ を満たすならば、$ R $ が対称的（それぞれ可逆的）であることと、$ R $ が $ \sigma $-対称的（それぞれ $ \sigma $-可逆的）であることと、$ R[x;\sigma,\delta] $ が対称的（それぞれ可逆的）であることの間には同値関係が成り立つ。
• 定理 4.2(1)-(3) は、$ R $ がBaer、準Baer、またはp.q.-Baer環であり、かつ $ \mathcal{C}_\sigma $ を満たすならば、$ R[x;\sigma,\delta] $ が同じ性質を継承することを示している。
• 定理 4.2 の証明は、任意の零化多項式のすべての係数が、$ R $ 内の冪等元によって生成される係数集合 $ A^* $ の零化子に属することを示すことに依存している。
• $ \mathcal{C}_\sigma $ 条件は本質的である：これがないと、$ \sigma $-対称性が拡張において古典的対称性を意味しない。
• 本稿の結果は、[11, 定理11、系12および15] における $ \sigma $-rigid 環に関する結果を一般化する。$ \sigma $-rigid 環は $ \mathcal{C}_\sigma $ を満たし、かつ $ (\sigma,\delta) $-歪Armendariz である。
• 本稿は、$ \sigma $-rigid 環が $ (\sigma,\delta) $-適合的かつ可約であることを確認し、したがって主要な定理に必要な条件を満たしていることを示している。