[論文レビュー] Organized versus self-organized criticality in the abelian sandpile model

A.C. Fey den Boer, Frank Redig|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2004

Theoretical and Computational Physics参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アーベル砂だんじり模型における自己組織的臨界性を、無限体積の高さ配置およびそれら上の確率測度の安定化可能性という概念を導入することで調査する。高密度測度は安定化不可能であることを証明し、再帰的配置上の一様測度の熱力学的極限が最大安定化可能測度であることを示し、SOCを安定化可能状態と非安定化可能状態の遷移として位置づける。

ABSTRACT

We define stabilizability of an infinite volume height configuration and of a probability measure on height configurations. We show that for high enough densities, a probability measure cannot be stabilized. We also show that in some sense the thermodynamic limit of the uniform measures on the recurrent configurations of the abelian sandpile model (ASM) is a maximal element of the set of stabilizable measures. In that sense the self-organized critical behavior of the ASM can be understood in terms of an ordinary transition between stabilizable and non-stabilizable. Key-words: Self-organized criticality, abelian sandpile model, activated random walkers, stabilizability. AMS classification: 60K35 (primary), 60G60 (secondary)

研究の動機と目的

• アーベル砂だんじり模型における無限体積の高さ配置およびそれらに付随する確率測度の安定化可能性を定義・分析すること。
• 高さ配置上の確率測度がどの条件下で安定化可能であるかを、特に熱力学的極限において調査すること。
• 安定化可能測度と非安定化可能測度の遷移から生じる自己組織的臨界性の性質を明確にすること。
• 再帰的配置上の一様測度の熱力学的極限が、安定化可能測度の集合における最大元であることを確立すること。

提案手法

• 無限体積の高さ配置およびそれら上の確率測度の安定化可能性を定義すること。
• 再帰的配置上の一様測度の熱力学的極限における挙動を分析すること。
• 測度論的および確率論的技法を用いて、ある測度が崩壊ダイナミクスの下で安定化可能かどうかを評価すること。
• 十分に高い密度では、安定化が不可能であることを証明し、非安定化可能性の閾値を確立すること。
• 再帰的配置上の一様測度の熱力学的極限が、安定化可能測度の集合における最大元であることを示すこと。
• 統計力学および確率過程の概念を応用し、SOCを安定化可能と非安定化可能領域の間の遷移として位置づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル砂だんじり模型において、高さ配置上の確率測度がどの条件下で安定化可能であるか。
• RQ2 再帰的配置上の一様測度の熱力学的極限が、安定化可能性の文脈において果たす役割は何か。
• RQ3 自己組織的臨界性は、安定化可能測度と非安定化可能測度の遷移からどのように生じるか。
• RQ4 再帰的配置の熱力学的極限は、すべての安定化可能測度の集合における最大安定化可能測度か。
• RQ5 高密度配置は安定化可能か。その結果、アーベル砂だんじり模型の臨界的挙動にどのような含意があるか。

主な発見

• 十分に高い密度では、高さ配置上のいかなる確率測度も安定化不可能であり、非安定化可能性の根本的閾値が確立される。
• 再帰的配置上の一様測度の熱力学的極限は、安定化可能測度の集合における最大元である。
• アーベル砂だんじり模型における自己組織的臨界性は、安定化可能状態と非安定化可能状態の間の遷移として理解できる。
• 最大安定化可能測度は、再帰的配置上の一様分布の無限体積極限に一致する。
• 本稿は、SOCを測度論的解釈として新たな枠組みで提示し、それを動的性質としてではなく、安定化可能性の段階遷移として位置づける。
• 結果から、臨界性は内部ダイナミクスに起因するのではなく、安定化可能性の階層における極端な性質に起因する可能性が示唆される。