[論文レビュー] Oriented matroid theory and loop quantum gravity in (2+2) and eight dimensions

J. A. Nieto|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、(2+2)次元および8次元時空におけるループ量子重力（LQG）と向き付きマトロイド理論の新しい関係を確立する。向き付きマトロイド理論におけるチロトープ概念を、ノルム付き除法代数（実数、複素数、クaternion、オクタニオン）の構造定数と結びつけることで、LQGが8次元および(2+2)次元の計量符号に一貫して定式化可能である可能性を示唆する。主な貢献は、LQGにおける自己双対接続形式の一般化を可能にする双対性フレームワークであり、アシュテカール形式を4次元および(1+3)符号にとどまらず拡張する。

ABSTRACT

We establish a connection between oriented matroid theory and loop quantum gravity in (2+2) (two time and two space dimensions) and 8-dimensions. We start by observing that supersymmetry implies that the structure constants of the real numbers, complex numbers, quaternions and octonions can be identified with the chirotope concept. This means, among other things, that normed divisions algebras, which are only possible in 1,2, 4 or 8-dimensions, are linked to oriented matroid theory. Therefore, we argue that the possibility for developing loop quantum gravity in 8-dimensions must be taken as important alternative. Moreover, we show that in 4-dimensions, loop quantum gravity theories in the (1+3) or (0+4) signatures are not the only possibilities. In fact, we show that loop quantum gravity associated with the (2+2)-signature may also be an interesting physical structure.

研究の動機と目的

• 標準的な(1+3)符号を超えて、(2+2)および8次元時空におけるループ量子重力の妥当性を検討すること。
• 向き付きマトロイド理論と量子重力における自己双対接続形式の間の関係を確立すること。
• 向き付きマトロイド理論におけるチロトープ概念が、ノルム付き除法代数（1,2,4,8次元）の構造定数に対応することを示し、代数的構造と量子重力とを結びつけること。
• 回路およびコサイクル空間を用いたLQG状態の双対形式を提唱し、双対性を用いてアシュテカール形式を一般化すること。
• 自己双対性および除法代数の制約に裏付けられた(2+2)符号および8次元時空が、量子重力の代替的候補として妥当であることを示唆すること。

提案手法

• ノルム付き除法代数（実数、複素数、クaternion、オクタニオン）の構造定数をモデル化するため、向き付きマトロイド理論におけるチロトープ概念を用いる。これらは1,2,4,8次元でのみ定義可能である。
• 8次元時空において一般化された双対テンソル${}^*R^{AB}$を$\eta$-記号（4次元における$\epsilon$-記号の類似）を用いて適用し、自己双対性が保たれることを示す。
• 4次元から(2+2)および8次元時空への自己双対接続形式の一般化を、${}^+R^{AB} = \frac{1}{2}(R^{AB} + \alpha {}^*R^{AB})$として定義することで行い、ここで$\alpha = \{1,i\}$であり、8次元では適切なオクタニオン構造に置き換える。
• グラフ$G$上の回路およびコサイクルを経由するホロノミーとして物理的状態$\Psi_C(A,L)$および$\Psi_{C^*}(A^*,L^\perp)$を定式化し、$L$および$L^\perp$はそれぞれ回路空間およびコサイクル空間を表す。
• 双対状態$|\Psi^*>$に作用する双対ハミルトニアン制約$\hat{H}^*$および$\hat{H}_l^*$を導入し、LQGにおけるハイゼンベルク的およびシュレーディンガー的双対性を一般化する。
• 重力場の元の形式と双対形式との間の双対性を$E^*$および$\omega^*$を用いて確立し、対応する自己双対接続${}^+R^{*AB}$を提示することで、統一的な双対量子重力フレームワークを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己双対性が$\eta$-記号を用いて保たれる場合、(2+2)次元時空においてループ量子重力が一貫して定式化可能かどうか。
• RQ2 向き付きマトロイド理論と量子重力におけるノルム付き除法代数の構造定数との間に根本的な関係があるか。
• RQ3 向き付きマトロイド理論における回路空間とコサイクル空間の双対性が、LQGにおけるアシュテカール形式をどのように一般化するか。
• RQ4 4次元におけるクaternionに類似して、8次元時空におけるオクタニオン$\eta$-記号を用いて自己双対接続形式を実現できるか。
• RQ5 向き付きマトロイド双対性に基づく量子重力フレームワークにおいて、双対ゲージ場$A^*$および双対ハミルトニアン制約$\hat{H}^*$が果たす物理的役割は何か。

主な発見

• 向き付きマトロイド理論におけるチロトープ概念が、ノルム付き除法代数の構造定数に直接対応することが示され、自己双対重力が1,2,4,8次元でのみ実現可能な理由を説明する。
• 8次元時空において$\eta$-記号を用いることで、曲率2形式の自己双対性が保たれ、これは4次元における$\epsilon$-記号の一般化であり、オクタニオン代数と関連している。
• (2+2)符号は、(1+3)および(0+4)と同様にループ量子重力における妥当な代替符号として特定され、同じ形式を用いて自己双対性が達成可能である。
• 回路用の$\Psi_C(A,L)$およびコサイクル用の$\Psi_{C^*}(A^*,L^\perp)$を用いたLQG状態の双対形式が提唱され、対応する双対ハミルトニアン制約$\hat{H}^*$および$\hat{H}_l^*$が導入される。
• 回路空間$L$とコサイクル空間$L^\perp$の双対性は、一般化されたファルカス性質を満たし、形式が自己双対的かつ対称的になる。これは向き付きマトロイドの主要特徴である。
• このフレームワークは、8次元および(2+2)符号が数学的奇抜さではなく、除法代数の制約と自己双対性に裏付けられた物理的に妥当な量子重力の候補であることを示唆する。