[論文レビュー] Oriented Matroid Theory as a Mathematical Framework for M-Theory

J. A. Nieto|ArXiv.org|Jun 13, 2005

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、双対性を基本的な対称性として用いることで、M理論のための組合せ的マトロイド理論を数学的枠組みとして提案する。p-braneの作用をチロトープとその双対を用いて定式化することで、p-braneとその双対p⊥-braneを統合した作用が得られ、Farkasの性質とGrassmann-Plücker関係式を介して双対性の対称性が保たれる。

ABSTRACT

We claim that $M$(atroid) theory may provide a mathematical framework for an underlying description of $M$-theory. Duality is the key symmetry which motivates our proposal. The definition of an oriented matroid in terms of the Farkas property plays a central role in our formalism. We outline how this definition may be carried over $M$-theory. As a consequence of our analysis we find a new type of action for extended systems which combines dually the $p$-brane and its dual $p^{\perp}$-brane.

研究の動機と目的

• 双対性対称性に基づくM理論の数学的基盤を確立すること。
• 組合せ的マトロイド理論がp-brane物理学における双対性を体系的に記述できるかを調査すること。
• チロトープの双対性を用いて、p-braneとその双対p⊥-braneを統合した作用を構築すること。
• Farkasの性質とGrassmann-Plücker関係式がp-brane作用において自然に現れることを示すこと。
• すべての(S, S⊥)の部分行列に対して双対性が保たれるM理論の分配関数を提案すること。

提案手法

• チロトープχ: E^r → {−1, 0, 1}が交代性およびGrassmann-Plücker関係式を満たすことで、組合せ的マトロイドを定義する。
• 接空間のベクトルv_a^μ = ∂_a x^μ(ξ)を用いて、σ^μ₁…μ_{p+1} = ε^{a₁…a_{p+1}} v_a¹^μ₁ … v_a^{p+1}^μ_{p+1}としてチロトープを表現する。
• Eにおける置換の符号と補集合を用いて、χ*を介して双対チロトープを導入する。
• 接バンドルの縦方向および横方向空間上で定義された∗σ^μ_{p+2}…μ_{d+1}を用いて、双対作用を導出する。
• γをラグランジュ乗数として用い、単一の積分を介してσと∗σの項を統合したS_{(p,p⊥)}という統一作用を構築する。
• 組み合わせ作用における完全反対称性を保証するため、一意な(d+1)-形式チロトープε^{μ₁…μ_{d+1}}を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組合せ的マトロイド理論は、双対性に基づくM理論の体系的な数学的枠組みを提供できるか？
• RQ2 p-braneとその双対p⊥-braneの双対性は、統一作用にどのように組み込まれるか？
• RQ3 Farkasの性質は、マトロイド理論とp-brane力学の間をつなぐ役割を果たすか？
• RQ4 提案された作用S_{(p,p⊥)}は一意的であり、チロトープの双対化に対して不変か？
• RQ5 M理論の分配関数は、(S, S⊥)のすべての部分行列に対して双対性対称性が保たれるように定義可能か？

主な発見

• 双対性対称性を保ったまま、p-braneとその双対p⊥-braneを統合した新しい作用S_{(p,p⊥)}が導出された。
• d+1 = 2nの場合に、作用S_{(p,p⊥)}はZaikovの自己双対作用に還元され、既知の自己双対モデルと関連づけられた。
• チロトープσ^μ₁…μ_{p+1}とその双対∗σ^μ_{p+2}…μ_{d+1}は、組合せ的マトロイド構造によって一意に決定される。
• 作用S_{(p,p⊥)}は、p-braneとp⊥-braneの個別作用よりも一般性が高く、片方の成分が孤立しても消えることはない。
• (d+1)-形式チロトープε^{μ₁…μ_{d+1}}の使用により、組み合わせ作用における完全反対称性と一意性が保証された。
• 分配関数Z_{(S,S⊥)} = ∫DX exp(S_{(1,5)}(S,S⊥))は、d+1=8次元における1-braneと5-braneの両方の量子力学的ダイナミクスを同時に記述する。