[論文レビュー] Origamis with non congruence Veech groups

Gabriela Schmithuesen|ArXiv.org|Apr 3, 2007

Advanced Materials and Mechanics参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の genus $ g \geq 2 $ に対して、Veech 群が $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ の非合同部分群である origami（正方形タイル付き曲面）が存在することを証明している。著者らは、自由群 $ F_2 $ の自己同型群を用いた origami Veech 群の群論的特徴付けを用い、非合同 Veech 群をもつ2つの具体例を明示的に計算し、それらから無限族を構成することで、非合同 Veech 群から生じる Teichmüller 曲線が各 moduli space $ M_g $ に存在することを確立している。

ABSTRACT

As main result we show that for each g > 1 there is some translation surface of genus g whose Veech group is a non congruence subgroup of SL(2,Z). We use origamis/square-tiled surfaces to produce our examples. The article is divided into two parts: In the first part we introduce translation surfaces, origamis, Veech groups and Teichmueller curves and show for two origamis in genus 2 that their Veech groups are non congruence groups; in the second part we provide a technique that produces sequences of origamis whose Veech groups are decreasing. This is used to prove the main result.

研究の動機と目的

• 任意の genus $ g \geq 2 $ に対して、Veech 群が $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ の非合同部分群である origami の存在を確立すること。
• 自由群 $ F_2 $ の自己同型群を用いた、origami の Veech 群の群論的特徴付けを提供すること。
• 非合同 Veech 群をもつ origami の具体例を構成し、それらから無限族を生成すること。
• このような Veech 群が、合同部分群とは関連しない Teichmüller 曲線を moduli space $ M_g $ に与えることを示すこと。

提案手法

• origami の Veech 群を、$ \hat{\beta}: \mathrm{Aut}^+(F_2) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ によるホモモーフィズムの像として特徴付ける。このホモモーフィズムは、$ F_2 $ の有限指数部分群の安定化部分群を写す。
• $ \mathrm{Aut}^+(F_2) $ の $ F_2 $ への作用を用いて、$ H_n \subset F_2 $ を定義し、それらの安定化部分群が $ n $ を法として合同条件に関連することを示す。
• 自由群の自己同型群のアプローチを用いて、2つの origami $ L(2,3) $ と $ D $ の Veech 群を明示的に計算する。
• origami $ L(2,3) $ の Veech 群が $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} $ を含み、$ D $ の Veech 群が $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix} $ を含むことを示し、合同部分群の性質により非合同性を示す。
• 初期の例から無限列の origami $ O_n $ を構成し、包含関係と合同レベルの条件を用いて、それらの Veech 群が非合同のまま保たれることを証明する。
• $ \Gamma(H_0) = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Gamma(H_n) $ かつ $ \Gamma(H_n) $ が $ 3n \mid s $ のときのみ元を含むことを利用して、非合同性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus $ g \geq 2 $ に対して、Veech 群が $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ の非合同部分群である origami が存在するか？
• RQ2 自由群 $ F_2 $ の自己同型群を用いて、origami の Veech 群を特徴付けられるか？
• RQ3 Veech 群が非合同部分群である origami の具体例が存在するか？
• RQ4 1つの例から無限族の origami を構成できるか？
• RQ5 この文脈において、合同部分群の性質が、合同と非合同の Veech 群を区別する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の genus $ g \geq 2 $ に対して、moduli space $ M_g $ に、Veech 群が $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ の非合同部分群である origami 曲線が存在することを証明している。
• origami $ L(2,3) $ の Veech 群は行列 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} $ を含み、$ D $ の Veech 群は $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix} $ を含む。これらはそれぞれ、レベルが 2 や 3 で割り切れる任意の合同部分群に属さない。
• 初期の部分群 $ H_0 $ の Veech 群 $ \Gamma(H_0) $ が $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ において無限大指数をもつことは、非合同部分群の主要な性質である。
• $ L(2,3) $ から導かれる origami の列 $ O_n $ に対して、行列 $ \begin{pmatrix}1 & s \\ 0 & 1\end{pmatrix} $ が $ \Gamma(O_n) $ に属するための必要十分条件は $ 3n \mid s $ である。この条件から非合同性が導かれる。
• 構成法により、無限族の origami が非合同 Veech 群をもつことが得られ、各 $ \Gamma(O_n) $ は $ \Gamma(O) $ に含まれるが、$ 3n $ をレベルとする任意の合同部分群には含まれない。
• 交わった群 $ \Gamma(H_0) = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Gamma(H_n) $ は非自明かつ無限大指数をもち、$ \Gamma(H_0) $ が合同部分群でないことが確認される。