[論文レビュー] Orlicz addition for measures and an optimization problem for the $f$-divergence

Shaoxiong Hou, Deping Ye|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、測度のオルリッチ加法を導入し、線形オルリッチ加法における全質量の1次変動として$f$-発散度の関数的解釈を提供する。双対的関数的オルリッチ＝ブラウン＝ミンコフスキー不等式を確立し、関数$\phi$に関する凸性条件の下で、測度に対する双対的関数的オルリッチアフィンおよびジオミニマル表面積がガウス測度で極値をとることを示し、新たな関数的アフィン等周不等式を導出する。

ABSTRACT

In this paper, the Orlicz addition of measures is proposed and an interpretation of the $f$-divergence is provided based on a linear Orlicz addition of two measures. Fundamental inequalities, such as, a dual functional Orlicz-Brunn-Minkowski inequality, are established. We also investigate an optimization problem for the $f$-divergence and establish functional affine isoperimetric inequalities for the dual functional Orlicz affine and geominimal surface areas of measures.

研究の動機と目的

• 測度に対する双対的オルリッチ＝ブラウン＝ミンコフスキー理論の関数的類似を、測度のオルリッチ加法の導入によって構築すること。
• 2つの測度の線形オルリッチ加法における全質量の1次変動として、$f$-発散度を解釈すること。
• $f$-発散度に関する最適化問題を調査し、測度に対する双対的関数的オルリッチアフィンおよびジオミニマル表面積を定義すること。
• これらの新しい表面積関数に対する関数的アフィン等周不等式を確立すること。
• 関数$\phi$に関する適切な凸性および単調性条件の下で、これらの関数の極値がガウス測度で達成されることを示すこと。

提案手法

• 関数$\varphi \in \Phi_m$が各成分に関して厳密に増加し、$\varphi(\mathbf{0}) = 0$を満たすものとし、非負可測関数$p_1, \dots, p_m \in \mathscr{F}$のオルリッチ加法を、その関数を含む暗黙の式によって定義する。
• 密度関数のオルリッチ和の$L^1$ノルムとして、得られる測度の全質量を定義することにより、オルリッチ加法を測度へ拡張する。
• $f$-発散度$D_f(P,Q) = \int_\Omega f(p/q) q \, d\mu$をコアな関数的ツールとして用い、それを線形オルリッチ加法における1次変動として解釈する。
• 積分に関するジェンセンの不等式と同値であることを示すことにより、双対的関数的オルリッチ＝ブラウン＝ミンコフスキー不等式を確立する。
• クラス$\mathscr{D}$の測度の上での$f$-発散度の下界として、双対的関数的オルリッチアフィン表面積$\widetilde{\Omega}_\phi^{orlicz}(P)$を定義し、同様にジオミニマル表面積$\widetilde{G}_\phi^{orlicz}(P)$を定義する。
• ロジスティック凸測度$P$に対して、関数$\phi \in \Phi$の下で、$\widetilde{\Omega}_\phi^{orlicz}(P)$および$\widetilde{G}_\phi^{orlicz}(P)$がガウス測度$\gamma_n \circ c_1$で最大値をとることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの測度の線形オルリッチ加法における$f$-発散度は、どのように1次変動として解釈できるか？
• RQ2 測度に対する関数的類似の双対的オルリッチ＝ブラウン＝ミンコフスキー理論とは何か？ そして、古典的ブラウン＝ミンコフスキー不等式とはどのように関係するか？
• RQ3 測度に対する双対的関数的オルリッチアフィンおよびジオミニマル表面積が極値をとる条件は何か？
• RQ4 双対的関数的オルリッチ＝ブラウン＝ミンコフスキー不等式は、積分に関するジェンセンの不等式と同値か？
• RQ5 双対的関数的オルリッチ表面積は最小化または最大化可能か？ もしそうなら、どの測度で極値をとるか？

主な発見

• 双対的関数的オルリッチ＝ブラウン＝ミンコフスキー不等式は、積分に関するジェンセンの不等式と同値であり、情報理論と関数解析学との深い関連を確立する。
• 関数$\phi \in \Phi$の下で、双対的関数的オルリッチアフィン表面積$\widetilde{\Omega}_\phi^{orlicz}(P)$は、$\phi(c_1^n) c_1^{-n} \mu(\gamma_n)$以上に有界であり、$P = \gamma_n \circ c_1$のとき等号が成立する。
• 双対的関数的オルリッチジオミニマル表面積$\widetilde{G}_\phi^{orlicz}(P)$は、$\mathscr{D}$に属するすべてのロジスティック凸測度$P$の中で、ガウス測度$\gamma_n \circ c_1$で最大値をとる。
• $\phi$が厳密に凸的だが$\Phi$に属さない場合でも、$\widetilde{\Omega}_\phi^{orlicz}(P)$に対して上界$\phi(c_1^n) c_1^{-n} \mu(\gamma_n)$が成り立ち、$c_1 > 0$は定理15で定義されたものである。
• 与えられた条件下で、双対的オルリッチ表面積に対する関数的アフィン等周不等式は鋭く、かつ正確にガウス測度で達成される。
• 提案されたオルリッチ加法演算は、古典的な$L_p$-加法を一般化し、非線形かつ非斉次な操作の下で幾何学的および情報理論的関数の研究に柔軟なフレームワークを提供する。