[論文レビュー] Orlicz-Hardy Spaces Associated with Operators Satisfying Davies-Gaffney Estimates

Renjin Jiang, Dachun Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ダヴィース＝ガッフィー推定を満たす測度付き距離空間 $ \mathcal{X} $ 上の非負自己共役作用素 $ L $ に関連する Orlicz-Hardy 空間 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ を、熱半群に結びついた Lusin 面積関数を用いて導入する。$ H_{\omega,L} $ と BMO 型空間 $ \mathrm{BMO}_{\rho,L} $ の双対性を確立し、原子的および分子的特徴づけを導出し、$ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ における Riesz 変換 $ \nabla L^{-1/2} $ の有界性を証明する。これは、古典的 Hardy 空間理論を Orlicz および作用素設定に拡張したものであり、Orlicz 関数 $ \omega $ に対する鋭い条件を含む。

ABSTRACT

Let ${\mathcal X}$ be a metric space with doubling measure, $L$ a nonnegative self-adjoint operator in $L^2({\mathcal X})$ satisfying the Davies-Gaffney estimate, $ω$ a concave function on $(0,\infty)$ of strictly lower type $p_ω\in (0, 1]$ and $ρ(t)={t^{-1}}/ω^{-1}(t^{-1})$ for all $t\in (0,\infty).$ The authors introduce the Orlicz-Hardy space $H_{ω,L}({\mathcal X})$ via the Lusin area function associated to the heat semigroup, and the BMO-type space ${\mathop\mathrm{BMO}_{ρ,L}(\mathcal X)}$. The authors then establish the duality between $H_{ω,L}({\mathcal X})$ and $\mathrm{BMO}_{ρ,L}({\mathcal X})$; as a corollary, the authors obtain the $ρ$-Carleson measure characterization of the space ${\mathop\mathrm{BMO}_{ρ,L}(\mathcal X)}$. Characterizations of $H_{ω,L}({\mathcal X})$, including the atomic and molecular characterizations and the Lusin area function characterization associated to the Poisson semigroup, are also presented. Let ${\mathcal X}={\mathbb R}^n$ and $ L=-Δ+V$ be a Schrödinger operator, where $V\in L^1_{\mathrm{\,loc\,}}({\mathbb R}^n)$ is a nonnegative potential. As applications, the authors show that the Riesz transform $ abla L^{-1/2}$ is bounded from $H_{ω,L}({{\mathbb R}^n})$ to $L(ω)$; moreover, if there exist $q_1,\,q_2\in (0,\infty)$ such that $q_1<1

研究の動機と目的

• 測度付き距離空間 $ \mathcal{X} $ 上でダヴィース＝ガッフィー推定を満たす非負自己共役作用素 $ L $ に関連する Orlicz-Hardy 空間 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ の実変数理論を構築すること。
• 双対性 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ と BMO 型空間 $ \mathrm{BMO}_{\rho,L}(\mathcal{X}) $ の間を確立し、$ \rho(t) = t^{-1}/\omega^{-1}(t^{-1}) $ を用いて $ \rho $-Carleson 測度による $ \mathrm{BMO}_{\rho,L} $ の双対的特徴づけを可能にする。
• 熱半群およびポアソン半群を用いて、原子的、分子的、Lusin 面積関数表現を含む、$ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ の複数の特徴づけを提供すること。
• $ \mathbb{R}^n $ 上のシュレーディンガー作用素 $ L = -\Delta + V $（$ V \geq 0 $ は局所可積分）への理論の拡張を行い、$ \omega $ の適切な凸性条件下で、$ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ 上での Riesz 変換 $ \nabla L^{-1/2} $ の有界性を確立すること。

提案手法

• 熱半群 $ e^{-tL} $ に関連する Lusin 面積関数を用いて、下界型 $ p_\omega \in (0,1] $ の凹な Orlicz 関数 $ \omega $ を用いて、Orlicz-Hardy 空間 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ を定義する。
• 関数 $ \rho(t) = t^{-1}/\omega^{-1}(t^{-1}) $ を用いて BMO 型空間 $ \mathrm{BMO}_{\rho,L}(\mathcal{X}) $ を導入し、テント空間を介した双対性ペアリングを通じて、$ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ と $ \mathrm{BMO}_{\rho,L}(\mathcal{X}) $ が双対空間であることを証明する。
• テント空間 $ T_\omega(\mathcal{X}) $ に対する原子的分解を確立し、$ T_2^2(\mathcal{X}) $ からの原子的分解を $ T_\omega(\mathcal{X}) $ に移行可能にすることで、$ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ の原子的特徴づけを可能にする。
• 最大関数および平方関数の推定と組み合わせて、$ T_\omega(\mathcal{X}) $ から $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ への作用素 $ \pi_{\Psi,L} $ の有界性を用い、非接線的および径方向最大関数による特徴づけを導出する。
• 分布的推定と $ L^{1/q_1} $ 上での最大関数 $ \mathcal{M} $ の有界性を用い、$ [\omega(t^{q_2})]^{q_1} $ が凸であるという条件下で、$ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ 上での Riesz 変換 $ \nabla L^{-1/2} $ が $ L(\omega) $ に有界であることを証明する。
• 理論をシュレーディンガー作用素 $ L = -\Delta + V $（$ \mathbb{R}^n $ 上、$ V \geq 0 $）に適用し、$ \omega $ の凸性条件下で、$ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ におけるすべての標準的特徴づけ（Lusin 面積関数、非接線的最大関数、径方向最大関数、原子、分子）が同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負自己共役作用素 $ L $ がダヴィース＝ガッフィー推定を満たす測度付き距離空間 $ \mathcal{X} $ 上で定義される Orlicz-Hardy 空間 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ の適切な定義は何か。また、熱半群を用いた定義はどのように特徴づけられるか。
• RQ2 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ と BMO 型空間 $ \mathrm{BMO}_{\rho,L}(\mathcal{X}) $ の間の双対性はどのように確立され、$ \rho $-Carleson 測度による $ \mathrm{BMO}_{\rho,L}(\mathcal{X}) $ の特徴づけにどのような意味を持つのか。
• RQ3 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ の原子的および分子的特徴づけは何か。また、ポアソン半群に関連する Lusin 面積関数とはどのように関係するか。
• RQ4 Riesz 変換 $ \nabla L^{-1/2} $ は $ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ 上でどのように振る舞い、Orlicz 関数 $ \omega $ に対してどのような条件下で $ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ から $ L(\omega) $ に有界となるか。
• RQ5 $ L = -\Delta + V $ が $ \mathbb{R}^n $ 上のシュレーディンガー作用素（$ V \geq 0 $）であり、$ [\omega(t^{q_2})]^{q_1} $ が凸であると仮定するとき、$ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ の同値な特徴づけは何か。

主な発見

• 双対性 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ と $ \mathrm{BMO}_{\rho,L}(\mathcal{X}) $ の間が確立され、$ \rho(t) = t^{-1}/\omega^{-1}(t^{-1}) $ である。この双対性により、$ \mathrm{BMO}_{\rho,L}(\mathcal{X}) $ は $ \rho $-Carleson 測度による特徴づけを有することが示される。
• 原子的および分子的特徴づけが得られ、関数空間 $ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ の元は、作用素 $ L $ に関連する特定のサイズ、キャンセル、滑らかさ条件を満たす原子または分子に分解可能であることが示される。
• ポアソン半群に関連する Lusin 面積関数は、$ H_{\omega,L}(\mathcal{X}) $ 上で同値なノルムを定める。これは、古典的理論を Orlicz および作用素適合設定に拡張するものである。
• Riesz 変換 $ \nabla L^{-1/2} $ は $ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ から $ L(\omega) $ に有界である。これは、古典的結果を Orlicz-Hardy 空間へ一般化したものであり、この枠組み内での特異積分の有界性を確認するものである。
• $ \mathbb{R}^n $ 上のシュレーディンガー作用素 $ L = -\Delta + V $（$ V \geq 0 $）に対して、$ [\omega(t^{q_2})]^{q_1} $ が凸である（ある $ q_1 < 1 < q_2 $ を満たす）と仮定すると、$ H_{\omega,L}(\mathbb{R}^n) $ におけるすべての標準的特徴づけ（Lusin 面積関数、非接線的最大関数、径方向最大関数、原子、分子）が同値であることが示され、完全な実変数理論が構築される。
• すべての結果は、$ \omega(t) = t^p $（$ p \in (0,1] $）という古典的ケースに対しても新規であり、作用素に関連する Hardy 空間の既存の研究を Orlicz-Hardy 空間設定に拡張し、Orlicz 関数に対する鋭い条件を含む。