[論文レビュー] Orlicz Spaces associated with a Semi-Finite Von Neumann Algebra

Sh. A. Ayupov, Vladimir Chilin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Advanced Operator Algebra Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半有限なフォン・ノイマン代数上の忠実で正規の局所的有限な重みに関連する非可換オルリッチ空間を導入し、トレースに基づく枠組みを超えて $ L_p $-空間を一般化する。これらのオルリッチ空間が古典的オルリッチ空間 $ L_\Phi(M,\tau) $ に等長同型であることを確立し、正則性および $ \delta_2/\Delta_2 $-条件のもとで、局所可測作用素のバナッハ空間として実現可能であり、双対空間が補間的オルリッチ空間に等長同型であることを示す。

ABSTRACT

In the present paper we introduce a certain class of non commutative Orlicz spaces, associated with arbitrary faithful normal locally-finite weights on a semi-finite von Neumann algebra $M.$ We describe the dual spaces for such Orlicz spaces and, in the case of regular weights, we show that they can be realized as linear subspaces of the algebra of $LS(M)$ of locally measurable operators affiliated with $M.$

研究の動機と目的

• 半有限なフォン・ノイマン代数上の忠実で正規の局所的有限な重み（トレースに限らない）に対して、非可換オルリッチ空間をトレースに基づく構成を超えて拡張すること。
• これらのオルリッチ空間の双対空間を特徴づけ、補間的オルリッチ空間と等長同型であることを確立すること。
• 正則性および $ \delta_2/\Delta_2 $-条件のもとで、オルリッチ空間 $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ が局所可測作用素の代数 $ LS(M) $ の部分空間として実現可能であることを示すこと。
• スペクトル理論と重み誘導ノルムを用いて、$ L_p $-空間の枠組みをオルリッチ空間へ一般化すること。

提案手法

• 重み $ \varphi $ とトレース $ \tau $ との間のRadon-Nikodym導関数 $ h $ を含むノルムを用いて、オルリッチ空間 $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ を定義する。
• 作用素 $ h $ のスペクトル分解と関数 $ \Phi^{-1} $ の逆関数を用いて、$ L_\Phi(M,\tau) $ への等長埋め込みを構成する。
• $ \delta_2/\Delta_2 $-条件を満たす $ \Phi $ を用いて、線形写像 $ U $ を介して $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ と $ L_\Phi(M,\tau) $ の間の等長同型を確立する。
• $ m_{\Phi,\alpha}^{\varphi,\tau} = M \cap \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ が $ \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ で稠密であることを証明し、完備性を保証する。
• $ h $ と $ h^{-1} $ の局所可測性を用いて、$ \Phi^{-1}(h) $ 及びその逆が局所可測であることを示し、オルリッチ空間の作用素表現を可能にする。
• 双対性理論を適用して、$ (L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau))^* \cong L_\Psi(M,\tau) $ を証明し、$ \Psi $ が $ \delta_2/\Delta_2 $-条件を満たす場合の強収縮性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の忠実で正規の局所的有限な重み（トレースに限らない）に対して、半有限なフォン・ノイマン代数上に非可換オルリッチ空間を構成可能か？
• RQ2 構成されたオルリッチ空間 $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ の双対空間は何か？ そして古典的オルリッチ空間とどのように関係するか？
• RQ3 どのような条件下で $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ が局所可測作用素のバナッハ空間として実現可能か？
• RQ4 $ N $-関数 $ \Phi $ における $ \delta_2/\Delta_2 $-条件が、オルリッチ空間の双対性および強収縮性に与える影響は何か？
• RQ5 $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ と $ L_\Phi(M,\tau) $ の間に、標準的な等長同型写像が存在するか？ その構成法は何か？

主な発見

• 任意の $ \alpha \in [0,1] $ に対して、$ \Phi $ が $ \delta_2/\Delta_2 $-条件を満たす限り、オルリッチ空間 $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ は古典的オルリッチ空間 $ L_\Phi(M,\tau) $ に等長同型である。
• 双対空間 $ (L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau))^* $ は、$ \Phi $ の補間的 $ N $-関数 $ \Psi $ を用いて $ L_\Psi(M,\tau) $ に等長同型である。
• もし $ \Phi $ と $ \Psi $ の両方が $ \delta_2/\Delta_2 $-条件を満たすならば、$ (L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau))^* \cong L_{\Psi,\beta}(M,\varphi,\tau) $ が成り立ち、$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ は強収縮的である。
• 重み $ \varphi $ が正則な局所的有限重みであり、$ \Phi $ が $ \delta_2/\Delta_2 $-条件を満たす場合、空間 $ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ は $ \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) \subset LS(M) $、すなわち局所可測作用素の空間として同定可能である。
• $ \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $ はLuxemburg型ノルム $ \|\cdot\|_{\Phi,\alpha}^{\varphi,\tau} $ に関してバナッハ空間であり、$ m_{\Phi,\alpha}^{\varphi,\tau} $ はその中で稠密である。
• オルリッチ空間は、$ h $ を重み $ \varphi $ のRadon-Nikodym導関数として、$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) = (\Phi^{-1}(h))^{-\alpha} L_\Phi(M,\tau) (\Phi^{-1}(h))^{\alpha-1} \subset LS(M) $ と表現可能である。