[論文レビュー] Orlicz Spaces with Bicomplex Scalars

Rajesh Kumar, Kanika Sharma+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Holomorphic and Operator Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、双複素スカラーにおける超複素値ルクセムブルクノルムを用いて、古典的オルリツ空間を双複素設定に一般化する双複素オルリツ空間を導入する。これらの空間の基礎的性質を確立し、$\mathbb{D}$-値の凸関数の積分表現を特徴づけ、$l^{2}(\mathbb{BC})$ 上の単一移動作用素のスペクトルがノルムコーン $\mathcal{NC}$ に一致することを証明し、非可換超複素代数への関数解析の拡張を実現する。

ABSTRACT

In this paper we define bicomplex Orlicz space with hyperbolic valued Luxemburg norm and discussed some of their properties. We have also partially characterize an integral representation of a $\mathbb{D}$-valued convex function. Further we have shown that the spectrum of the unilateral shift operator on $l^2(\mathbb{BC})$ is the null cone $\mathcal{NC}$.

研究の動機と目的

• 双複素スカラー値関数に対するオルリツ空間理論を、双曲的値ノルムを用いて拡張すること。
• $\mathbb{D}$-値の凸関数を定義し、その積分表現を研究すること。
• $\mathbb{D}$-値モジュラー関数-functional を用いた、ムシエラク-オルリツ関数論を双複素設定に一般化すること。
• 特に単一移動作用素のスペクトル的性質を、$l^2(\mathbb{BC})$ の文脈で分析すること。
• 複素および実オルリツ空間理論を適応することで、双複素関数解析の基礎的結果を確立すること。

提案手法

• $\mathbb{D}$-ムシエラク・オルリツ関数 $\varphi_{\mathbb{D}}$ から導かれる $\mathbb{D}$-値ルクセムブルクノルムを用いて、双複素オルリツ空間を定義した。
• 可測な双複素関数に対して、$\mathbb{D}$-凸モジュラー関数-functional を $I_{\varphi_{\mathbb{D}}}^{\mathbb{D}}(f) = \int_{\Omega_{\mathbb{D}}} \varphi_{\mathbb{D}}(t, |f(t)|_k) \, d\mu_{\mathbb{D}}$ として導入した。
• 電磁的基底 $e_1, e_2$ を用いて、モジュラー関数-functional を $I_{\varphi_{\mathbb{D}}}^{\mathbb{D}}(f) = I_{\varphi_{\mathbb{D}_1}}^{\mathbb{D}}(f_1)e_1 - I_{\varphi_{\mathbb{D}_2}}^{\mathbb{D}}(f_2)e_2$ の形に表現し、複素成分への分解を可能にした。
• $\mathbb{D}$-ルクセムブルクノルムを $\|f\|_{\varphi_{\mathbb{D}}}^{\mathbb{D}} = \inf\{\lambda >^\prime 0 : I_{\varphi_{\mathbb{D}}}^{\mathbb{D}}(f/\alpha) \leq^\prime 1\}$ として定義し、ノルム値がノルムコーンの補集合に属することを保証した。
• $\dagger$-共役を用いて $\mathbb{BC}$ 内の逆元と零因子を定義し、スペクトル解析に不可欠な性質を特定した。
• $l^2(\mathbb{BC})$ 上の単一移動作用素 $S_{\mathbb{D}}^*$ を分析し、$\|S_{\mathbb{D}}^*\|_{\mathbb{D}} \leq^\prime 1$ を示した。また、右シフト作用素の存在により、$0 \in \rho_{\mathbb{D}}(S_{\mathbb{D}}^*)$ であることを証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的値ルクセムブルクノルムを用いて、オルリツ空間を双複素スカラーにどのように一般化できるか。
• RQ2 $\mathbb{D}$-ムシエラク・オルリツ関数に対して、モジュラー関数-functional $I_{\varphi_{\mathbb{D}}}^{\mathbb{D}}$ が適切に定義され、$\mathbb{D}$-凸性を満たすための条件は何か。
• RQ3 双複素設定において、$\mathbb{D}$-値の凸関数に対して積分表現を確立できるか。
• RQ4 $\mathbb{D}$-値ノルムを備えた $l^2(\mathbb{BC})$ 上の単一移動作用素のスペクトルは何か。
• RQ5 $\mathbb{BC}$ における三つの共役および三つのノルムが、オルリツ空間および作用素論の構造にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 単一移動作用素 $S_{\mathbb{D}}^*$ のスペクトルはノルムコーン $\mathcal{NC}$ に一致する。これは $0 \in \rho_{\mathbb{D}}(S_{\mathbb{D}}^*)$ であり、逆元が右シフトとして存在することにより確認された。
• $\mathbb{D}$-ルクセムブルクノルムにより、$\|f\|_{\varphi_{\mathbb{D}}}^{\mathbb{D}}$ がノルムコーン $\mathcal{NC}$ の補集合に属することが保証され、逆元性およびノルム構造が維持された。
• モジュラー関数-functional は $I_{\varphi_{\mathbb{D}}}^{\mathbb{D}}(f) = I_{\varphi_{\mathbb{D}_1}}^{\mathbb{D}}(f_1)e_1 - I_{\varphi_{\mathbb{D}_2}}^{\mathbb{D}}(f_2)e_2$ の形に分解され、複素成分による解析が可能になった。
• $\mathbb{D}$-ムシエラク・オルリツ関数 $\varphi_{\mathbb{D}}$ は $\varphi_{\mathbb{D}}(t, |f(t)|_k) = \varphi_{\mathbb{D}_1}(t_1, |f_1(t_1)|)e_1 + \varphi_{\mathbb{D}_2}(t_2, |f_2(t_2)|)e_2$ を満たし、双曲的分解と整合的であることが保証された。
• 作用素 $S_{\mathbb{D}}^*$ は有界であり、$\|S_{\mathbb{D}}^*\|_{\mathbb{D}} \leq^\prime 1$ が、$k$-ノルム $|x_n|_k^2$ を用いたノルム推定により確認された。
• $S_{\mathbb{D}}^*$ の逆元は存在し、右シフト $S_{\mathbb{D}}^{*-1}(\xi_1, \xi_2, \xi_3) = (0, \xi_1, \xi_2, \xi_3)$ として与えられ、$0$ がリゾルベント集合 $\rho_{\mathbb{D}}(S_{\mathbb{D}}^*)$ に属することを裏付けた。