[論文レビュー] Orlov and Viterbo functors in partially wrapped Fukaya categories

Zachary Sylvan|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、部分的 wrapped Fukaya 圏におけるOrlov関手の球面性の幾何的基準を確立し、それがストップが交換可能（交換可能である接触同倫が元のストップを避けて正のReebプッシュオフから負のReebプッシュオフへと存在する）であるときにかつそのときに限り球面的であることを示している。さらに、Weinstein多様体間のViterbo転送関手がホモロジー的エピモルフィズムであることを証明し、これはモジュール圏に移行した後、局域化に帰着することを意味する。Landau–Ginzburgモデルにおける既知のOrlov関手の球面性を、ストップ除去の下で非Weinsteinコボルディズムへ一般化した。

ABSTRACT

We study two functors between (partially) wrapped Fukaya categories. The first is the Orlov functor from the Fukaya category of a stop to the Fukaya category of the ambient sector. We give a geometric criterion for when this functor is spherical in the sense of Anno-Logvinenko. This criterion is a generalization of the situation where the stop comes from a Landau-Ginzburg model. The second functor is the Viterbo transfer map from a Liouville domain to a subdomain. We show that when the domain and subdomain are independently Weinstein, this functor is a homological epimorphism, which means that it becomes a localization after passing to module categories. This should be compared with a result of Ganatra-Pardon-Shende, which states that the Viterbo map is a genuine localization when the cobordism is Weinstein.

研究の動機と目的

• Anno–Logvinenkoの定義におけるストップからその周囲セクターへのOrlov関手が球面的である条件を幾何学的に特定すること。
• Landau–GinzburgモデルにおけるOrlov関手の既知の球面性を、新しい幾何的基準により任意のストップへ一般化すること。
• Weinstein多様体間のViterbo転送関手がホモロジー的エピモルフィズムであることを示し、これはモジュール圏において局域化に帰着することを意味する。
• Viterbo転送写像とOrlov関手構成との関係を明確にし、ストップ除去の下で等価性を検証すること。
• 交換可能性と球面的関手の間の代数的・シンプレクティックな類似性を探索し、非交換可能な球面的関手が極めて特異である可能性を示唆すること。

提案手法

• 交換可能なストップの概念を導入：ストップの正のReebプッシュオフから負のReebプッシュオフへの接触同倫が、元のストップを避けるもの。
• Reebフローに従う同倫と交換同倫を用いて自己同値変換（『モノドロミー』Mφ と『1回ラップ』Wφ）を定義し、交換同倫の選び方に依存しないことを示す。
• 接合カテゴリの半直交分解を用いてOrlov関手の像を解釈し、接合バイモジュールを用いて球面構造を検証する。
• モジュール圏に移行した後、局域化に帰着することを示すことにより、Viterbo転送関手がホモロジー的エピモルフィズムであることを証明する。
• Moserの補題と接触同倫拡張定理を用いて、接触同相写像とシンプレクティック同相写像の関係を確立し、同倫とシンプレクティック変形の同値性を示す。
• 『正の』自己同値変換（A-正値性とB-正値性）の概念を用いて、交換同倫によって誘導される自己同値変換Sφの球面構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストップからその周囲セクターへのOrlov関手が球面的である幾何的条件は何か？
• RQ2 ストップの交換可能性は、Fukaya圏におけるモノドロミーとラップ・オンス・自己同値変換の存在とどのように関係するか？
• RQ3 Weinstein多様体間のViterbo転送関手はホモロジー的エピモルフィズムか？ これはモジュール圏におけるその振る舞いに何を意味するか？
• RQ4 ストップ除去の下で、Viterbo転送写像をOrlov関手によって一貫して定義できるか？ これは以前の構成とどのように比較できるか？
• RQ5 交換可能性の代数的双対物は何か？ そして、シンプレクティックな文脈における球面的関手とどのように関係するか？

主な発見

• Orlov関手は、ストップが交換可能であるときにかつそのときに限り球面的であり、Landau–Ginzburgモデルを超える球面性の幾何的特徴付けが得られた。
• モノドロミー自己同値変換Mφは、シフトされた双対余転送M′[−2]と同型であり、ラップ・オンス自己同値変換Wφは双対転送W′と同型であり、いずれも交換同倫の選び方に依存しない。
• Weinstein多様体間のViterbo転送関手はホモロジー的エピモルフィズムであり、これはモジュール圏に移行した後、局域化に帰着することを意味する。
• 交換同倫によって誘導される自己同値変換Sφは球面的交換であり、接合カテゴリの半直交分解を用いてA-正値性とB-正値性が検証された。
• ストップ除去が成立する場合（すべてのWeinstein多様体で成立する）、Orlov関手によるViterbo写像の構成は、元の定義と等価である。
• MφとWφが同倫φに依存しないことから、ストップ集合を集合的に保存する任意のシンプレクティック同相写像が、これら自己同値変換と可換であることが示された。