[論文レビュー] Orthogonal decomposition of the space of algebraic numbers and Lehmer's problem

Paul Fili, Zachary Miner|ArXiv.org|Nov 10, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガロア体と次数による直交分解を用いて、捩れを除いた代数的数の空間に $L^p$-ノルムを導入し、Lehmerの問題と関連付ける。$L^p$-Lehmer予想が、$p=1$ の場合に古典的予想（元の Lehmer 予想）と同値であり、$p=\infty$ の場合に Schinzel-Zassenhaus 予想と同値であることを証明し、$L^p$ 空間における関数解析的手法を用いた、小スケールの Mahler 積分の研究のための新しい枠組みを確立する。

ABSTRACT

We introduce vector space norms associated to the Mahler measure by using the L^p norm versions of the Weil height recently introduced by Allcock and Vaaler. In order to do this, we determine orthogonal decompositions of the space of algebraic numbers modulo torsion by Galois field and degree. We formulate L^p Lehmer conjectures involving lower bounds on these norms and prove that these new conjectures are equivalent to their classical counterparts, specifically, the classical Lehmer conjecture in the p = 1 case and the Schinzel-Zassenhaus conjecture in the p = infinity case.

研究の動機と目的

• 捩れを除いた代数的数の空間における $L^p$-ノルムを用いた Lehmer の問題の再定式化。
• ガロア体と次数に基づいた、この空間の直交分解の構成。
• Diophantine 近似における $L^p$-Lehmer 予想と古典的予想の同値性の確立。
• Mahler $p$-ノルムの定義とその性質の分析、特に $p=2$ の場合。
• 単位群 $\Gamma$ の離散位相が $L^p$-Lehmer 予想と同値であることを示し、数論と関数解析の間の接続を確立。

提案手法

• 捩れを除いた代数的数の関数空間 $\mathcal{F}$ を、Weil の高さと Mahler 積分を用いて定義する。
• Allcock と Vaaler の $L^p$ ノルムフレームワークを応用し、Weil の高さの $L^p$ バージョンを定義する。
• 射影作用素 $P_K$ と $T^{(n)}$ を用いて、$\mathcal{F}$ のガロア体と次数による直交分解を構成する。
• Mahler $p$-ノルムを $\|f\|_{m,p} = \|Mf\|_p$ として定義し、$Mf = \sum n T^{(n)}f$ とすることで、古典的 Mahler 積分と関連付ける。
• $L^p$-Lehmer 予想が成り立つための必要十分条件として、単位群 $\Gamma$ が $L^p$-位相において離散的であること、すなわち $L^p$-位相で離散的であることの証明。
• スペクトル分解とノルム不等式を用い、$\|f\|_{m,p}$ を $\|T^{(n)}f\|_2$ および $\|P_K f\|_{m,p}$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mahler 積分を、捩れを除いた代数的数の関数空間上の $L^p$-ノルムとしてどのように再解釈できるか？
• RQ2 ガロア体と次数による $\mathcal{F}$ の直交分解は、Lehmer の問題の関数解析的定式化をどのように可能にするか？
• RQ3 $L^p$-Lehmer 予想が、$p=1$ の場合に古典的 Lehmer 予想と同値であり、$p=\infty$ の場合に Schinzel-Zassenhaus 予想と同値であるか？
• RQ4 Mahler $2$-ノルムはヒルベルト空間構造から生じるか？ そのスペクトル的性質は何か？
• RQ5 単位群 $\Gamma$ が $L^p$-位相で離散的であることは、$L^p$-Lehmer 予想が成り立つための必要十分条件か？

主な発見

• $L^p$-Lehmer 予想は、$p=1$ のとき古典的 Lehmer 予想と同値であり、$p=\infty$ のとき Schinzel-Zassenhaus 予想と同値である。
• Mahler $2$-ノルムは $\|f\|_{m,2} = \left(\sum_{n=1}^\infty n^2 \|T^{(n)}f\|_2^2\right)^{1/2}$ として定義され、内積から生じるため、$\mathcal{F}$ の完備化はヒルベルト空間となる。
• ガロア体 $K$ と次数 $n$ による $\mathcal{F}$ の部分空間 $V_K^{(n)}$ への直交分解により、Mahler ノルムのスペクトル解析が可能になる。
• $L^p$ 内で $P_K$ はノルム 1 の射影作用素であり、$T^{(n)}$ 作用素と可換であり、$L^p$-ノルム構造を保つ。
• 単位群 $\Gamma$ が $L^p$-位相で離散的であることと、$L^p$-Lehmer 予想が成り立つことは同値であり、これにより予想の位相的特徴づけが得られる。
• $p=2$ のとき、不等式 $\|f\|_{m,2} \leq \delta(f) \|f\|_2$ が成り立つ。ここで $\delta(f)$ は $f$ の最小体の次数を表す。