[論文レビュー] Orthogonal functions generalizing Jack polynomials

Stephen Griffeth|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、複素反射群 $G(r,1,n)$ の有理チェレドニク代数に対して、可換部分代数 $\t$ と相互作用作用素を用いて、ジャック多項式を一般化した直交関数を構成する。$\t$-固有関数として、標準テーブルックスで添え字づけられた組合せ的基底を構築し、ノルム公式を証明するとともに、$G(r,p,n)$ における部分加群格子をクラッフィ・理論を用いて記述し、有限次元モジュールおよび既約ヘッドへの結果の拡張を示す。

ABSTRACT

The rational Cherednik algebra $\HH$ is a certain algebra of differential-reflection operators attached to a complex reflection group $W$. Each irreducible representation $S^λ$ of $W$ corresponds to a standard module $M(λ)$ for $\HH$. This paper deals with the infinite family $G(r,1,n)$ of complex reflection groups; our goal is to study the standard modules using a commutative subalgebra $ tt$ of $\HH$ discovered by Dunkl and Opdam. In this case, the irreducible $W$-modules are indexed by certain sequences $λ$ of partitions. We first show that $ tt$ acts in an upper triangular fashion on each standard module $M(λ)$, with eigenvalues determined by the combinatorics of the set of standard tableaux on $λ$. As a consequence, we construct a basis for $M(λ)$ consisting of orthogonal functions on $\CC^n$ with values in the representation $S^λ$. For $G(1,1,n)$ with $λ=(n)$ these functions are the non-symmetric Jack polynomials. We use intertwining operators to deduce a norm formula for our orthogonal functions and give an explicit combinatorial description of the lattice of submodules of $M(λ)$ in the case in which the orthogonal functions are all well-defined.

研究の動機と目的

• 有理チェレドニク代数 $G(r,1,n)$ に対して、直交関数を用いてジャック多項式を一般化すること。
• 標準モジュール $M(\theta)$ の部分加群構造を、標準テーブルックスで添え字づけられた組合せ的基底を用いて記述すること。
• 相互作用作用素を用いて、直交関数のノルム公式を導出すること。
• $G(r,1,n)$ から $G(r,p,n)$ への結果の拡張を、巡回的自己同型群とクラッフィ理論を用いて行うこと。
• 単純な $\t$-スペクトルを示す場合の、既約ヘッド $L(\theta,q)$ の明示的基底を提供すること。

提案手法

• 有理チェレドニク代数 $\tH$ の可換部分代数 $\t$ を用い、標準モジュール $M(\theta)$ 上での作用を対角化すること。
• $\t$ が $M(\theta)$ 上で上三角的作用を示し、その固有値が $\theta$ 上の標準テーブルックスによって定まるようにすること。
• 対偶形式を用いて、$\tH$-モジュール上での直交関数の基底 $f_{\nu,T}$ を構成すること。
• 相互作用作用素を適用し、直交関数 $f_{\nu,T}$ のノルム公式を導出すること。
• $r$-分割への巡回的シフト自己同型 $\t$ を用いて、$M(\theta)$ と $M(\theta)^\alpha$ を関連付け、$G(r,p,n)$ への降下を可能にすること。
• $C^{kr/p}$ の固有空間分解を $M\left(\theta\right)$ 上に用い、$M(\theta,q)$ を分解し、既約ヘッド $L(\theta,q)$ を記述すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準モジュールの有理チェレドニク代数 $G(r,1,n)$ に対して、ジャック多項式を一般化した直交関数をどのように構成できるか。
• RQ2 直交関数が適切に定義されるとき、$M(\theta)$ の部分加群格子の組合せ的構造は何か。
• RQ3 相互作用作用素がどのように直交関数のノルム公式を導くか。
• RQ4 有理チェレドニク代数 $\tH$ の巡回的自己同型群が、$G(r,p,n)$ の有理チェレドニク代数への降下をどのように可能にするか。
• RQ5 $G(r,p,n)$ のヴェルマモジュール $M(\theta,q)$ の既約ヘッド $L(\theta,q)$ の階数次元は何か。

主な発見

• 可換部分代数 $\t$ は $M(\theta)$ 上で上三角的作用を示し、その固有値は $\theta$ 上の標準テーブルックスによって定まる。これにより、直交関数 $f_{\nu,T}$ の基底が得られる。
• 相互作用作用素を用いて、直交関数 $f_{\nu,T}$ のノルム公式が導出され、その大きさを明示的に制御できる。
• $M(\theta)$ の部分加群構造は、定理7.5を用いて組合せ的に記述され、適切に定義された関数に対して、ペア $(\nu,T)$ で添え字づけられた基底要素がインデックスづけられる。
• $G(r,p,n)$ に対して、有理チェレドニク代数は $\tH$ の巡回的自己同型群による固定部分代数として得られ、クラッフィ理論を用いて降下が可能である。
• $M(\theta,q)$ の既約ヘッド $L(\theta,q)$ の階数次元は $\frac{k}{p} \dim(L(\theta)_i)$ であり、ここで $k$ は自己同型の位数、$p/k$ は固有空間の数である。
• 直交関数 $f_{\nu,T}$ は $M(\theta)$ の基底をなす。また、$\t$-スペクトルが単純な場合、これらは既約モジュール $L(\theta,q)$ の明示的基底をもたらす。