[論文レビュー] Orthogonal involution on algebras of degree 16 and the Killing form of E8

Skip Garibaldi|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、16次元中心単純代数に直交的対合を施し、$E_8$ 型の群を構成し、ねじれ$A_1$部分群への制限によりそのキリング形式を計算する。$I^3$ 内の16次元代数に直交的対合を持つ代数へ、アラソン不変量$e_3$を拡張し、それが一般にピフェィスタ型を検出できることを示し、奇数次元拡大およびある予想の下で、この$E_8$群は、ロスト不変量が自明であるすべての$E_8$群を含むことを示す。

ABSTRACT

We exploit various inclusions of algebraic groups to give a new construction of groups of type E8, determine the Killing forms of the resulting E8's, and define an invariant of central simple algebras of degree 16 with orthogonal involution "in I^3", equivalently, groups of type D8 with a half-spin representation defined over the base field. The determination of the Killing form is done by restricting the adjoint representation to various twisted forms of PGL2 and requires very little computation. An appendix by Kirill Zainoulline contains a type of "index reduction" result for groups of type D.

研究の動機と目的

• 16次元中心単純代数に直交的対合を持つ$e_3$アラソン不変量を、二次形式に対する既知の性質を一般化して、$I^3$ 内に拡張すること。
• 四元数代数にシンプレクティック対合と16次元代数に直交的対合を持つもののテンソル積を用いて、$E_8$型代数的群を構成すること。
• 結果得られる$E_8$群のキリング形式を、$\operatorname{PGL}_2$のねじれ型への制限により計算し、重い計算を避けること。
• 不変量$e^{16}_3$とロスト不変量との関係を確立し、この構成が数体上でのロスト不変量が自明なすべての$E_8$群を捉えていることを示すこと。
• 奇数の$\deg A / \operatorname{ind} A$を持つ16次元代数に直交的対合が、セベリ＝ブレア多様体の函数体上で非双曲的であることを、$J$-不変量とモチーフ的技法を用いて示すこと。

提案手法

• 代数$A$のセベリ＝ブレア多様体の函数体を用いて、$e^{16}_3(A,\sigma)$を定義することで、16次元代数に直交的対合を持つ$e_3$アラソン不変量を拡張する。
• $\operatorname{PGL}_2 \times \operatorname{PSp}_8 \times \boldsymbol{\mu}_2 \subset \operatorname{HSpin}_{16}$ の包含関係を用い、分解可能対合$(Q,\bar{\,}) \otimes (C,\gamma)$ における$e^{16}_3$の公式を導出する。
• $E_8$群のキリング形式を、$\operatorname{PGL}_2$のねじれ型への制限により計算し、これらは$A_1$群に同型である。
• $\operatorname{HSpin}(A,\sigma)$および$\operatorname{PGL}(A)$の$J$-不変量を用いたモチーフ的技法により、$\deg A / \operatorname{ind} A$ が奇数のとき、対合が非双曲的であることを証明する。
• ロスト不変量と[PSZ]におけるモチーフ的分解の構造を用い、双曲的であると仮定した場合の矛盾を導く。
• ザイノウリーネの付録の結果を用い、$\operatorname{HSpin}_{16}$ の$J$-不変量は$\frac{1}{4}\deg A = 4$個の奇数$d_i$を持つ項を有するが、一方$\operatorname{PGL}_{16}$は1つの$J$-不変量項を有するため、対合が双曲的であると仮定すると矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 16次元中心単純代数に直交的対合を持つ$e_3$アラソン不変量を、$I^3$ 内に拡張できるか？
• RQ2 四元数代数と16次元代数に直交的対合を持つもののテンソル積から得られる$E_8$群のキリング形式は何か？
• RQ3 体上でのこの構成から得られる$E_8$群はどれであり、ロスト不変量が自明な群とどのように関係するか？
• RQ4 16次元代数に直交的対合が、セベリ＝ブレア多様体の函数体上で非双曲的である条件は何か？
• RQ5 $\operatorname{HSpin}_{16}$と$\operatorname{PGL}_{16}$の$J$-不変量の違いは何か？また、これは対合の双曲性にどのような意味を持つか？

主な発見

• 16次元中心単純代数$A$に直交的対合$\sigma$を持つ場合、$I^3$ 内で$e^{16}_3(A,\sigma)$は適切に定義されており、$(A,\sigma)$ が一般にピフェィスタ型であるかどうかを検出できる。
• $(Q,\bar{\,}) \otimes (C,\gamma)$ を用いた$E_8$群の構成により、数体上では、奇数次元拡大を除き、すべての$E_8$群が得られる。
• 結果得られる$E_8$群のキリング形式は、$\operatorname{PGL}_2$のねじれ型への制限により計算され、従来の方法に比べて計算が簡略化される。
• $\operatorname{HSpin}_{16}$の$J$-不変量は$\frac{1}{4}\deg A = 4$個の奇数$d_i$を持つ項を有するが、$\operatorname{PGL}_{16}$は1つの$J$-不変量項を有する。したがって、$\deg A / \operatorname{ind} A$ が奇数のとき、対合が双曲的であると仮定すると矛盾が生じる。
• $e^{16}_3$が消えるのは、対合が一般にピフェィスタ型であるときであり、これは関連する$E_8$群のロスト不変量が0であることに一致する。
• ある$D_8$群に関する予想が成り立つならば、この構成により、体$k$上でのロスト不変量が自明なすべての$E_8$群が得られ、これは数体上での検証がなされている。