[論文レビュー] Orthogonal maximal abelian *-subalgebras of the 6x6 matrices

Kyle A. Beauchamp, Remus Nicoară|ArXiv.org|Sep 3, 2006

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、6次元の非同型で非アフィンな複素ヘルミート行列の1パラメータ族を構成し、$M_6(\mathbb{C})$における直交する最大アーベル $^*$-部分代数（MASA）を導く。主な貢献は、6次元において初めての非アフィン族であり、パラメータ $ heta$ でパrameter化されている。この族は、Björck-Fröberg行列の孤立性に関する疑問を解消し、その行列がこの族に含まれることを示している。また、9次、10次、11次の新しい孤立したヘルミート行列も提示している。

ABSTRACT

We construct new pairs of orthogonal maximal abelian $*$-subalgebras of $M_6(\mathbb C)$, by classifying all self-adjoint complex Hadamard matrices of order 6. In particular, we exhibit a non-affine one-parameter family of non-equivalent Hadamard matrices of order 6. In the last part of the paper we present other previously unknown examples of complex Hadamard matrices of higher orders.

研究の動機と目的

• 6次元の自己随伴複素ヘルミート行列を同型性の観点から分類すること。
• 非同型で非アフィンな6次元複素ヘルミート行列の1パラメータ族を構成すること。
• Björck-Fröbergの巡回的6ルート行列 $C_6^{(0)}$ が6次元ヘルミート行列全体の中で孤立しているかどうかを解明すること。
• 対称性と数値探索法を用いて、9次、10次、11次の新しい複素ヘルミート行列の例を提示すること。
• 部分因子理論の文脈において、スパン条件、デフェクト、ヘルミート行列の孤立性の関係を調査すること。

提案手法

• ユニタリ性と自己随伴性の制約から導かれる方程式系を解くことで、6次元の自己随伴複素ヘルミート行列を分類する。
• $y = e^{i\theta}$ を用いた三角関数的および代数的表現を用いて、1パラメータ族 $H(\theta)$ を構成する。$x, t, z$ は根号と有理関数で定義される。
• Mathematicaを用いた数値探索により、ヘルミート条件を符号化する関数 $f(H)$ の局所的最小値を求める。対称性と固定された対角成分を課す。
• 文献[Ni]のスパン条件を適用して、新しい行列の孤立性を検証し、既知の族とは同型でないことを保証する。
• 対角成分を1または-1に固定することで、強い代数的制約を課し、解の空間を単純化する。
• 既知の族（例：$F_9^{(4)}$、巡回行列）と新しい行列を比較し、同型性の欠如と新規性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元の非アフィンな1パラメータ族の複素ヘルミート行列は存在するか？もし存在するならば、明示的に構成可能か？
• RQ2 Björck-Fröberg行列 $C_6^{(0)}$ は6次元ヘルミート行列全体の中で孤立しているか、それとも連続族に属するか？
• RQ3 対称性と数値探索法を用いて、9次、10次、11次の新しい孤立した複素ヘルミート行列を構成可能か？
• RQ4 ヘルミート行列のデフェクトとその孤立性の関係は何か？ゼロのデフェクトは孤立性を意味するか？
• RQ5 新しい行列はスパン条件を満たすか？これは部分因子理論におけるそれらの役割に何を意味するか？

主な発見

• 6次元の非アフィンな1パラメータ族の複素ヘルミート行列が構成され、$\theta \in [-\pi, -\arccos(( -1 + \sqrt{3})/2)] \cup [\arccos(( -1 + \sqrt{3})/2), \pi]$ でパラメータ化されている。行列の成分は $y = e^{i\theta}$ と $y$ の有理関数で定義される。
• $H(\theta)$ は、Björck-Fröbergの巡回的6ルート行列 $C_6^{(0)}$ と同型な行列を含み、$C_6^{(0)}$ が孤立でないことが示された。これにより、疑問に対して否定的解答が得られた。
• 9次行列 $H_9$ は、スパン条件を満たし、4パラメータ族 $F_9^{(4)}$ に属するいかなる行列とも同型でないため、複素ヘルミート行列の中で孤立している。
• $BN_9$ はデフェクト2を有しており、非自明な非同型ヘルミート行列族に属する可能性がある。
• $BN_{10}$ はスパン条件を満たし、したがって孤立している。成分は $\mathbb{Q}[( -1 + i\sqrt{15})/4]$ に属し、既知の巡回的またはアフィン族とは同型でない。
• 11次行列 $N_{11}$ と $N'_{11}$ は2つの新しい孤立行列であり、両方ともスパン条件を満たし、$x = \frac{3}{4} - i\frac{\sqrt{7}}{4}$ を用いた $\mathbb{Q}(x)$ の2次拡大に成分を含む。