[論文レビュー] Orthogonal polynomials in and on a quadratic surface of revolution

Sheehan Olver, Yuan Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2019

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、円錐、双曲面、放物面などの回転二次曲面上および内部の関数に対して、明示的な直交多項式基底を構築する。これは球面調和関数や球体上での直交多項式を一般化したものである。高速変換および立方則を用いることで、非標準的な領域上でも高精度な関数近似およびスペクトル法が効率的に行える。

ABSTRACT

We present explicit constructions of orthogonal polynomials inside quadratic bodies of revolution, including cones, hyperboloids, and paraboloids. We also construct orthogonal polynomials on the surface of quadratic surfaces of revolution, generalizing spherical harmonics to the surface of a cone, hyperboloid, and paraboloid. We use this construction to develop cubature and fast approximation methods.

研究の動機と目的

• R^{d+1} 内の回転二次曲面（d ≥ 2）に対して、球面調和関数および古典的な球体内多項式を一般化すること。
• これらの曲面の表面およびその内部を囲む体積上における関数の明示的直交多項式基底を構築すること。
• これらの領域上での滑らかな関数の高精度近似を、スペクトル法を用いて可能にすること。
• これらの非標準的な幾何形状上での直交多項式展開のための効率的な立方則および高速アルゴリズムを構築すること。
• 近年の高速変換（例：Slevinskyの手法）を、非球形の二次領域へと拡張し、実用的な計算に応用すること。

提案手法

• 回転二次曲面上に重み関数を定義し、変数分離および特殊関数論を用いて直交多項式基底を構築する。
• 円柱座標 (r, θ, t) におけるテンソル積基底を用いて、円錐やその他の曲面上の関数を表現し、Jacobi多項式およびチェビシェフ多項式を活用する。
• ディスクおよび球面上の直交多項式のためのSlevinskyの高速変換を応用し、準最適な計算量で関数を効率的に再展開する。
• Gauss-JacobiおよびGauss-Chebyshev点のテンソル積グリッドに基づく積型数値積分法を用いて立方則を構築する。
• テンソル積基底と直交多項式基底との間の変換行列を線形代数を用いて逆算し、多項式展開の正確な回復を保証する。
• 関数の解析性の性質を活用し、特異点を収束速度の予測因子として用いて、直交展開における係数の減少率を予測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円錐、双曲面などの回転二次曲面の表面および内部における関数に対して、直交多項式をどのように明示的に構築できるか。
• RQ2 これらの曲面上の一般の重み関数に対して、直交多項式基底の構造はどのようなものか。また、球面調和関数はどのように一般化されるか。
• RQ3 既存のスペクトル変換技術を用いて、非球形の二次領域における直交多項式展開のための高速アルゴリズムをどのように適応できるか。
• RQ4 これらの曲面上の解析関数の展開係数の減少率はどの程度か。また、特異点の位置とどのように関係するか。
• RQ5 直交多項式基底を用いて、回転二次体積上での積分のための効率的な立方則をどのように構築できるか。

主な発見

• R^{d+1} 内の円錐、双曲面、放物面の表面およびその内部を囲む体積上における関数に対して、明示的な直交多項式基底が構築された。
• 円錐表面における直交多項式は球面調和関数を一般化したものであり、関連付きルジャンドル多項式およびJacobi多項式を用いて構築された。
• 円錐上での滑らかな関数に対して、直交展開の係数は指数関数的に減少し、その速度は近接する特異点の位置に依存する。
• 変数 x, y, t に関して整関数である関数は、超指数関数的係数減少を示し、スペクトル収束が確認された。
• Slevinskyのアルゴリズムに基づく高速変換法は準最適な計算量を達成し、直交多項式展開の効率的計算を可能にした。
• テンソル積数値積分グリッドに基づく立方則が導出され、これらの領域上での積分および近似に有効であることが示された。