[論文レビュー] Orthogonal polynomials in several variables. I

T. Constantinescu|ArXiv.org|May 31, 2002

Mathematical functions and polynomials参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複数の非可換変数における実数直線上の直交多項式の非可換類似物を導入し、再帰関係、クリスティオフエル＝ダーボウス型の公式、およびジャコビ型行列を確立する。主な貢献は、ヒルベルト空間上での乗法作用素へのユニタリ同値性を介した厳密に正の線形汎関数の特徴付けであり、直交多項式と構造化された行列族を結びつけ、自由モノイド上の正定値カーネルを用いて非可換ハムバーグモーメント問題を解くことである。

ABSTRACT

In this paper we introduce and discuss some classes of orthogonal polynomials in several non-commuting variables. The emphasis is on a non-commutative version of the orthogonal polynomials on the real line. We introduce recurrence equations for these polynomials, Christoffel-Darboux formulas, and Jacobi type matrices.

研究の動機と目的

• 実数直線上の直交多項式の非可換拡張を、複数の非可換変数へと展開すること。
• 非可換設定下での再帰関係およびクリスティオフエル＝ダーボウス公式を確立すること。
• 再帰構造に関連するジャコビ型行列を定義し、特徴づけること。
• 自由モノイド上の正定値カーネルを用いて、非可換ハムバーグモーメント問題を解くこと。
• 非可換代数におけるGNS構成と直交多項式理論を統合すること。

提案手法

• 2N個の非可換不定元からなる単位的*-代数を定義し、自己準同型でY_k → Y_{N+k}を満たすものとする。
• 商代数O_N^0(A)上の厳密に正の線形汎関数φを導入し、すべての非ゼロPに対してφ(I_A(π(P))π(P)) > 0を満たすものとする。
• GNS構成を適用してヒルベルト空間H_φと、単項式π(Y_σ)に対するグラム・シュミット法による正規直交基底{φ_α}を構成する。
• 行列係数A_{n,k}、B_{n,k}、およびB^*_{n,k}を用いたブロック三重対角構造において、正規直交多項式φ_αの再帰関係を導出する。
• ヒルベルト空間上に作用するブロック三重対角構造と可逆な上三角ブロックB_nを有する、ジャコビN族行列(J_1,…,J_N)を構成する。
• 正定値カーネルK(σ,τ) = s_{I(σ)τ}が、正の汎関数φのモーメントs_σ = φ(Y_σ)を特徴付けることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換変数を複数持つ直交多項式は、どのように体系的に定義され、特徴づけられるか？
• RQ2 実数直線の場合に類似する再帰関係は、非可換直交多項式の構造をどのように支配するか？
• RQ3 ジャコビ型行列は、再帰係数およびそれらの背後にある汎関数とどのように関係するか？
• RQ4 非可換設定下で、与えられたモーメントを持つ正の汎関数の存在を保証する条件は何か？
• RQ5 カーネル理論を用いて、非可換ハムバーグモーメント問題はどのように解けるか？

主な発見

• 厳密に正の汎関数を有する商*-代数上でGNS構成を用いることで、実数直線上の非可換類似直交多項式が構成される。
• 正規直交基底{φ_α}は、ブロック三重対角構造における行列係数A_{n,k}、B_{n,k}、B^*_{n,k}を用いた三項再帰関係を満たす。
• ジャコビ型行列(J_1,…,J_N)は、ヒルベルト空間H_φ上での乗法作用素Ψ_{φ,k}とユニタリ同値であり、スペクトルモデルを確立する。
• 非可換ハムバーグモーメント問題の解が与えられる：列{s_σ}が正の汎関数のモーメント列であるための必要十分条件は、カーネルK(σ,τ) = s_{I(σ)τ}が正定値であることである。
• カーネルKは、K(ασ,τ) = K(σ I(α), τ)という対称性を満たし、自由モノイドの対合構造と関連づけられる。
• ジャコビN族におけるブロックB_nの可逆性により、一意的かつ厳密に正の汎関数φの存在が保証され、正規直交基底が一意に定義される。