[論文レビュー] Orthogonal polynomials of several variables

Yuan Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 126被引用数 72

ひとこと要約

多変数正交多項式の理論を詳述した包括的な章：モーメント汎函数による基礎、Gram–Schmidt の構成、三項関係、零点、核、および特定の二変数系。

ABSTRACT

Preliminary version of Chapter 2 in the book "Encyclopedia of Special functions: The Askey-Bateman Project, Vol. 2: Multivariate special functions", T. H. Koornwinder and J. V. Stokman (eds.), Cambridge University Press, 2021.

研究の動機と目的

• いくつかの変数にまたがる正交多項式の研究を動機づけ、形式化する。
• モーメント汎函数を介して非退化な内積を定義し、正交基底の存在を確立する。
• V_n^d に対する多変量 Gram–Schmidt フレームワークとモノック基底を概説する。
• 多変量三項関係を提示し、再帰と演算子構造への含意を示す。
• 多変量正交多項式の零点、キュベーション公式、および再現核について論じる。

提案手法

• モーメント汎函数を定義し、多変量多項式上の内積を得るために用いる。
• 選択したモノミアル順序で Gram–Schmidt によって多変量正交多項式を構築する。
• 係数行列 A_{n,i}, B_{n,i}, C_{n,i} を用いた多変量三項関係を述べ、活用する。
• 座標による掛け算を実現するブロックJacobi行列 J_i を導入し、可換な自己随伴演算子と結びつける。
• 再現核 P_n(x,y) と Fourier 展開の Christoffel–Darboux 型公式を導出する。
• 零点、ガウス型キュベーション、存在条件と上限について論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント汎函数により誘導される非退化内積は、いつ多変量正交多項式の全成分族を生成するか。
• RQ2 三項関係と行列係数を用いてFavard の定理を多変量へ一般化するにはどうすればよいか。
• RQ3 多変量正交多項式の零点とキュベーション公式の関係は何か、そしてガウス型公式がいつ存在するか。
• RQ4 再現核とフーリエ展開を多変量正交多項式の観点でどのように表現できるか。
• RQ5 多変量正交多項式がコンパクト集合上の測度および決定的モーメント問題に対応する条件は何か。

主な発見

• モーメント行列の非退化性（Delta_{n,d} ≠ 0）は、正交基底 V_n^d の存在と等価である。
• モノック正交多項式 P_α^n は存在し、V_n^d の基底を形成する；正定値性は Δ_{n,d} の正の値を要求する。
• i=1,...,d に対して、係数行列 A_{n,i}, C_{n,i} が全階数を持ち、対称な B_{n,i} を備えた有限項三項関係が存在する。
• 正交多項式は、可換なブロックJacobi行列を介して記述され、乗算演算子とスペクトル理論に結びつく。
• P_n の零点は、適切な条件下で実数かつ互いに異なり、単純である。これらの構造はブロックJacobi行列の結合固有値と関連する。
• 次数 2n-1 のガウス型キュベーションは、P_n が dim Π_{n-1}^d 共同 zeros を持つときに存在する。中心対称測度はそのようなガウス型キュベーションを妨げる。