[論文レビュー] Orthogonal polynomials on the disk in the absence of finite moments

Peter C. Gibson|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限の偶数モーメントをもつ測度 $ dxdy/(1 - x^2 - y^2) $ に関して単位円板上で直交するスキャターリング多項式を導入し、$ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ において正規直交基底をなすことを証明する。構成にはロドリゲス型の公式が用いられ、ジャコビ多項式と関連づけられ、有限モーメントが存在しないにもかかわらず完全性が保証される。

ABSTRACT

We introduce a new family of orthogonal polynomials on the disk that has emerged in the context of wave propagation in layered media. Unlike known examples, the polynomials are orthogonal with respect to a measure all of whose even moments are infinite.

研究の動機と目的

• 単位円板上で測度 $ (1 - x^2 - y^2)^{-1} dx\thinspace dy $ をもつ新しい直交多項式族を確立すること。
• 標準的な $ L^2 $ 内積が非可積分なモーメントのため発散する状況において、直交多項式を定義する課題を解決すること。
• ロドリゲス型の公式により定義されるスキャターリング多項式が、測度 $ dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2) $ をもつ重み付き $ L^2 $ 空間において直交基底をなすことの証明。
• 有限モーメントが存在しないにもかかわらず、スペクトル理論および直交多項式との関連を用いて、これらの多項式の完全性と直交性を示すこと。

提案手法

• ロドリゲス型の公式によるスキャターリング多項式の定義：$ \rho^{(p,q)}(z) = \frac{(-1)^p}{q(p+q-1)!}(1 - z\bar{z}) \frac{\tau^{p+q}}{\tau z^p \tau \bar{z}^q}(1 - z\bar{z})^{p+q-1} $（$ p, q \neq 0 $）。
• スキャターリング多項式が演算子 $ -\tilde{\nabla} = -(1 - x^2 - y^2)\nabla/4 $ の固有関数であることの証明。固有値は $ pq $ であり、異なる固有値に対応する固有関数は直交する。
• 多項式の径方向成分をジャコビ多項式 $ P^{(1, |p-q|)}_{\nu}(2r^2 - 1) $ で表現し、$ \nu = \text{min}\bigl\brace{p,q\big\brace} - 1 $ とすることで、古典的直交多項式と関連づける。
• 変換 $ h(r,\theta) = \tilde{g}(r,\theta)\tilde{\rho}(r) $ および $ \tilde{\rho}(r) = \tilde{1} - r^2 $ を用いて、重み付き $ L^2 $ 空間を標準的 $ L^2 $ 空間に写像し、既知の直交基底の利用を可能にする。
• 関数がすべてのスキャターリング多項式と直交するならば、ほとんど everywhere で恒等的にゼロであることを示すことにより完全性を証明。これは、$ \bigl\brace{Q^{(1,|n|)}_{\nu}(u)\big\brace} $ が $ L^2([-1,1], du) $ で稠密であることを利用。
• 異なる $ pq $-積を持つ多項式間の直交性は異なる固有値、同じ $ pq $-積を持つ多項式間の直交性は角周波数の分離 $ e^{i(q-p)\theta} $ を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み測度 $ (1 - x^2 - y^2)^{-1} dx\thinspace dy $ が無限モーメントをもつ場合、標準的 $ L^2 $ 内積が非可積分であるため定義不能であるにもかかわらず、単位円板上で直交多項式を構成できるか？
• RQ2 ロドリゲス型の公式により定義されるスキャターリング多項式が、$ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ 空間において完全な直交基底をなすか？
• RQ3 標準的家族における対応する $ \beta $-パrameter が存在しないにもかかわらず、スキャターリング多項式は古典的直交多項式、特にジャコビ多項式とどのように関連しているか？
• RQ4 修正されたラプラシアン $ -\tilde{\nabla} $ のスペクトル的性質を用いて、スキャターリング多項式系の直交性と完全性を証明できるか？
• RQ5 異なる $ (p,q) $ インデックスを持つ多項式間の直交性を保証する角周波数 $ e^{i(q-p)\theta} $ の役割は何か？

主な発見

• ロドリゲス公式により定義されるスキャターリング多項式 $ \rho^{(p,q)} $ は、$ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ において直交する。直交性は $ -\tilde{\nabla} $ の異なる固有値、または異なる角周波数に起因する。
• 多項式 $ \rho^{(p,q)} $ の径方向成分は $ f^{(p,q)}(r) = c \times (1 - r^2) r^{|p-q|} P^{(1,|p-q|)}_{\nu}(2r^2 - 1) $ と表現でき、$ \beta = |p - q| $、$ \nu = \text{min}\bigl\brace{p,q\big\brace} - 1 $ とすることでジャコビ多項式と関連づけられる。
• 集合 $ \bigl\brace{ \rho^{(p,q)} \bigm| \text{min}\bigl\brace{p,q\big\brace} \neq 0 \bigr\brace} $ は、$ L^2(\text{disk}, r\thinspace dr\thinspace d\theta / (1 - r^2)) $ において直交基底をなす。スペクトル理論および $ Q^{(1,m)}_{\nu}(u) $ が $ L^2([-1,1], du) $ で完全であることの証明に基づく。
• 空間 $ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ は $ \tilde{1} - r^2 \times L^2(\text{disk}, r\thinspace dr\thinspace d\theta) $ に等長写像され、標準的 $ L^2 $ からの完全性の転送が可能になる。
• 関数 $ h $ がすべての $ \rho^{(p,q)} $ と直交するならば、それに対応する $ L^2(\text{disk}, r\thinspace dr\thinspace d\theta) $ 内の関数 $ g $ は a.e. でゼロに等しくなる。これにより、$ \rho^{(p,q)} $ の線形包の直交補空間が自明であることが示される。
• スキャターリング多項式は、ゼルニケ多項式とは異なり境界でゼロでないが、ディリクレ境界条件と整合する $ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy) $ の基底を提供する。