[論文レビュー] Orthogonal projection of a test configuration to vector fields

Tomoyuki Hisamoto|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、重み分布のモーメント収束を示すことにより、テスト構成の正規直交射影が、ホロモルフィックベクトル場へと解析的極限に収束することを確立する。$L^p$-ノルムの射影が、関連する弱ジオデシック線の接ベクトルの$L^p$-ノルムに収束することを示し、Székelyhidiが導入した代数的射影の精密な解析的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

Given a polarized complex manifold, projection of a torus-equivariant test configuration to holomorphic vector fields was introduced by G. Székelyhidi, as the limit of the associated $\mathbb{C}^*$-actions. We show that there actually holds the moment convergence of the weight distributions. Our analytic approach at the same time specifies the limit in terms of the weak geodesic ray associated with the test configuration. Related to the result, we discuss about the reduced $L^p$-norm of the test configuration in attempt to describe the uniform K-stability of the polarization relative to the automorphism group.

研究の動機と目的

• Székelyhidiが代数的に定義したホロモルフィックベクトル場へのテスト構成の正規直交射影の解析的記述を提供すること。
• テスト構成に関連する弱ジオデシック線の接ベクトルの$L^p$-ノルムに、射影された重みの$L^p$-ノルムが収束することを確立すること。
• 重み分布のモーメント収束を通じて、代数的射影$P_k(A_k)$と幾何的極限$P(\dot{\varphi}^0)$の関係を明確にすること。
• テスト構成の削減$L^p$-ノルムと射影されたベクトル場のノルムを関連させることで、一様K安定性の概念を支援すること。

提案手法

• テスト構成$(\mathcal{X}, \mathcal{L})$に関連する弱ジオデシック線$\varphi^t$を用い、$t=0$における接ベクトル$\dot{\varphi}^0$を定義する。
• $dd^c$-補題を用いて、$\mathcal{H}$内の接ベクトルを滑らかな関数と同一視し、Monge-Ampère測度を用いて$L^2$内積を定義する。
• 表現空間上のキリング形式を用いて、$\mathfrak{sl}(H^0(\mathcal{X}_0, \mathcal{L}_0^{ ens k}))$から$(\mathfrak{t}/\mathbb{C})_{\mathbb{R}}$への正規直交射影$P_k$を構成する。
• 等変リーマン・ローチ・ヒルツブルーフの定理を用い、$k \to \infty$におけるトレース$\operatorname{Tr}A_k^p$および$\operatorname{Tr}A_k B_{j,k}$の漸近的挙動を解析し、係数の有理数性を示す。
• 恒等式$2\operatorname{Tr}A_k B_{j,k} = \operatorname{Tr}(A_k + B_{j,k})^2 - \operatorname{Tr}A_k^2 - \operatorname{Tr}B_{j,k}^2$を用いてモーメント収束を証明し、有理数係数が得られることを示す。
• 基底変換$\tau \mapsto \tau^d$を用いて1-PS作用の状況に還元し、生成子$A - B$をもつ修正されたテスト構成$\mathcal{X}'$を構成し、その$L^2$-ノルムが消えることを示し、$A_1 = B_1$を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的射影$P_k(A_k)$が、$k \to \infty$において解析的極限に収束するか？
• RQ2 射影された重みの$L^p$-ノルムの極限は、弱ジオデシック線に関連するハミルトニアン関数の$p$乗の積分として表現可能か？
• RQ3 弱ジオデシック線の初期接ベクトル$\dot{\varphi}^0$は、トーラス$T$の1-PS生成子のハミルトニアン関数の有理数線形結合か？
• RQ4 修正されたテスト構成$\mathcal{X}'$の$L^2$-ノルムが消えることは、その構成が自明であることを示唆するか？ よって、元の生成子が回復されるか？
• RQ5 モーメント収束の結果は、テスト構成の削減$L^p$-ノルムを用いた一様K安定性の定義をどのように支援するか？

主な発見

• モーメント収束が成立する：すべての$p \geq 1$に対して$\lim_{k\to\infty} \frac{\operatorname{Tr}P_k(A_k)^p}{k^p N_k} = \frac{1}{V} \int_X P(\dot{\varphi}^0)^p \omega^n$が成り立ち、代数的射影の明確な解析的極限を確立する。
• 弱ジオデシック線の初期接ベクトルに関連するハミルトニアン関数$\dot{\varphi}^0$は、トーラス$T$の1-PS生成子のハミルトニアン関数の有理数線形結合であることが示され、極限射影の有理数性が証明される。
• 基底変換により、構成が複数根に変わった場合、生成子$A_k$は1-PS作用の生成子$B_k$と一致し、$A_1 = B_1$が成り立つ。
• 生成子$A - B$をもつ修正テスト構成$\mathcal{X}'$の$L^2$-ノルムは消えるため、$\| (\mathcal{X}', \mathcal{L}') \|_2 = 0$となり、[BHJ15]により自明性が従う。よって$A_1 = B_1$が結論づけられる。
• 本結果は、$\mathbb{C}^*$-ケースにおける[His12]の収束結果について、新たな解析的証明を提供し、任意のトーラス作用へ一般化する。
• 収束結果は、テスト構成の削減$L^p$-ノルムを用いた一様K安定性の定義を支援する。極限ノルムがジオデシック線の接ベクトルの$L^p$-ノルムと一致するためである。