[論文レビュー] Orthogonal projections of discretized sets

Weikun He|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^n$ 内の高ランク直交射影へ、Bourgainの離散化射影定理を一般化する。$A$ を次元 $\alpha$ の離散化集合とするとき、$A$ と部分空間の分布に非集中性の仮定を課すと、ほとんどの $m$ 次元部分空間への射影の次元は $\frac{m}{n}\alpha - \epsilon$ 以上である。この結果は、被覆数と幾何的測度論を用いて、高次元余次元へのフラクタル射影定理を拡張する。

ABSTRACT

We generalize Bourgain's discretized projection theorem to higher rank situations. Like Bourgain's theorem, our result yields an estimate for the Hausdorff dimension of the exceptional sets in projection theorems formulated in terms of Hausdorff dimensions. This estimate complements earlier results of Mattila and Falconer.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^n$ 内のランク1から高ランク直交射影へ、Bourgainの離散化射影定理を拡張すること。
• 被覆数を用いて、スケール $\delta$ における例外的射影方向のハウスドルフ次元の定量的推定を提供すること。
• 集合 $A$ とグラスマン多様体上の測度 $\mu$ の両方に非集中性仮定を課す高ランク版の離散化射影定理を確立すること。
• 解析的集合のハウスドルフ次元 $\alpha$ に関するフラクタル幾何的帰結、特に射影定理を導出すること。

提案手法

• スケール $\delta$ における離散化集合のサイズを測るため、被覆数 $\mathcal{N}_\delta(A)$ を用いる。これはルベーグ測度やハウスドルフ測度の代わりである。
• 集合 $A$ にフロストマン型の非集中性条件 (2) を課し、$A$ が小さなスケールに集中しないように保証する。
• グラスマン多様体 $\operatorname{Gr}(\mathbb{R}^n, m)$ 上の測度 $\mu$ に非集中性条件 (3) を課し、すべての $W$ と $\rho \geq \delta$ に対して $\mu(\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)) \leq \delta^{-\epsilon}\rho^\kappa$ が成り立つようにする。
• シューベルト円周の近傍 $\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$ を定義するために、角度距離 $\operatorname{d_{\measuredangle}}(V,W)$ を導入する。
• Łojasiewiczの不等式を用いて、$\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$ の被覆数を $\rho^{1/C}$ の項で制御し、次元推定を可能にする。
• 多様体上の実解析関数に適用可能なBrudnyiのRemez型不等式を用い、制限された射影族における例外的パrameter集合のサイズを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非集中性仮定のもとで、$A \subset \mathbb{R}^n$ の $m$ 次元部分空間への射影の最小次元は何か？
• RQ2 Bourgainの離散化射影定理は、$\mathbb{R}^n$ 内のランク1から高ランク射影へどのように拡張できるか？
• RQ3 $\dim_H(\pi_V(A)) \leq \frac{m}{n}\alpha + \epsilon$ を満たす例外的方角 $V$ の最大ハウスドルフ次元は何か？
• RQ4 グラスマン多様体上の測度 $\mu$ の非集中性は、$A$ の射影のサイズにどのように影響するか？
• RQ5 写像 $t \mapsto V(t)$ が実解析的である場合、射影族 $V(t)$ の例外的パrameter集合のサイズは何か？

主な発見

• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\delta_0 > 0$ が存在し、すべての $\delta < \delta_0$ に対して、$\mathcal{N}_\delta(A') \geq \delta^\epsilon \mathcal{N}_\delta(A)$ を満たす任意の部分集合 $A' \subset A$ について、$\mu$-大集合 $\mathcal{D} \subset \operatorname{Gr}(\mathbb{R}^n, m)$ で $\mu(\mathcal{D}) \geq 1 - \delta^\epsilon$ となるものが存在し、$\mathcal{N}_\delta(\pi_V(A')) \geq \delta^{-\frac{m}{n}\alpha - \epsilon}$ が成り立つ。
• 射影 $\pi_V(A)$ の次元が $\frac{m}{n}\alpha + \epsilon$ 以下となるような例外的方角 $V$ の集合は、すべての $\rho > 0$ に対して $\mu(\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)) \leq \rho^\kappa$ を満たす非ゼロ測度 $\mu$ を持てないため、ハウスドルフ次元の観点から例外集合のサイズが制御可能である。
• 実解析的族 $V(t)$ の例外的パrameter集合の次元は、横断性の仮定のもとで、$p - 1 + d\kappa$ 以下である。ここで $d$ は実解析関数 $f(W,t) = \operatorname{d_{\measuredangle}}(V(t),W)^2$ の次数である。
• 測度 $\mu$ の非集中性は $\delta^{-\epsilon}\rho^\kappa$ によって定量的に定式化されており、$\mu$ がわずかに集中していても、スケール $\delta^\epsilon$ まで制御されていれば、定理が成り立つ。
• 指数 $\frac{m}{n}\alpha$ は、次元 $\alpha$ の集合の射影の期待次元であり、与えられた仮定のもとでは $\epsilon$ の損失は避けられないため、結果は鋭い。
• 証明は、$\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$ の被覆数を $\rho^{1/C}$ に結びつける Łojasiewicz の不等式と、解析的族における例外的パrameter集合のサイズを制御する Brudnyi の Remez 型不等式に依存している。