[論文レビュー] Orthogonal tensor decomposition and orbit closures from a linear algebraic perspective

Pascal Koiran|arXiv (Cornell University)|May 13, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実数および複素数体上の直交テンソル分解の線形代数的特徴付けを提供し、対称テンソルおよび直交ワーリング分解を許容する一般テンソルが、ℝ 上では二次方程式で記述可能であり、ℂ 上では多項式等式および不等式で記述可能であることを示している。主な貢献は、近似同時対角化（ASD）性質を用いた直交テンソル分解の閉包の完全な特徴付けであり、ℂ 上での閉包への属するためのASD条件が必要であるが十分ではないことを示す反例を提示している。

ABSTRACT

We study orthogonal decompositions of symmetric and ordinary tensors using methods from linear algebra. For the field of real numbers we show that the sets of decomposable tensors can be defined be equations of degree 2. This gives a new proof of some of the results of Robeva and Boralevi et al. Orthogonal decompositions over the field of complex numbers had not been studied previously; we give an explicit description of the set of decomposable tensors using polynomial equalities and inequalities, and we begin a study of their closures. The main open problem that arises from this work is to obtain a complete description of the closures. This question is akin to that of characterizing border rank of tensors in algebraic complexity. We give partial results using in particular a connection with approximate simultaneous diagonalization (the so-called "ASD property").

研究の動機と目的

• 線形代数的手法を用いて直交テンソル分解の代数的特徴付けを提供すること。
• ℝおよびℂ上での分解可能テンソルの集合を多項式方程式および不等式を用いて記述すること。
• 特に複素数上で、直交テンソル分解の閉包を研究すること。
• テンソル分解におけるASD性質と軌道閉包の関係を調査すること。
• 反例を構成することで、軌道閉包の構造に関する未解決問題を解決し、ASD条件が必要であるが十分でないことを示すこと。

提案手法

• 3次テンソルのスライス表現を用い、n個の行列として扱い、同時行列削減の技術を適用する。
• 2次形式および同次部分空間の結果を応用し、複素数上の直交分解を分析する。
• 近似同時対角化（ASD）の概念を用いて、直交分解の極限を特徴付ける。
• Wittの拡張定理および対称行列の性質を活用し、閉包条件を導出する。
• 完全に同次的部分空間から対称テンソルを構成し、閉包への属するための反例を生成する。
• 次元数え上げの議論を用いて、特定のテンソル族が直交分解の閉包の外にあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝおよびℂ上での直交ワーリング分解を許容する対称テンソルの集合を特徴付ける代数的条件は何か？
• RQ2 複素数上で、直交分解可能テンソルの集合の閉包はどのように記述できるか？
• RQ3 近似同時対角化（ASD）条件は、直交分解可能テンソルの閉包に属するための十分条件か？
• RQ4 多項式方程式および不等式を用いて、直交テンソル分解の軌道閉包を完全に特徴付けることができるか？
• RQ5 ℂ上での直交分解可能テンソルの代数的集合の次元は何か？他のテンソル族と比較するとどうなるか？

主な発見

• ℝ上では、直交ワーリング分解可能な対称テンソルの集合は二次方程式によって定義され、RobevaおよびBoraleviらの結果の新たな証明が得られる。
• ℂ上では、直交分解可能テンソルの集合は多項式等式および不等式によって定義される構成可能集合であり、その閉包はASD性質によって特徴付けられる。
• 閉包に属するテンソルのスライス積（例：X_k^T X_l）からなる行列は、対称的かつ近似的に同時に対角化可能でなければならない。
• 反例により、ℂ上での直交分解可能テンソルの閉包は、ASD性質のみで定義される集合よりも厳密に大きいことが示された。
• 十分に大きなn（n ≥ 68）に対して、すべてのASD条件を満たすが直交分解可能テンソルの閉包に属さない対称テンソルが存在する。
• ℂ上での直交分解可能テンソルの代数的集合の次元は、高々3n(n−1)/2 + nであり、これは二次的に有界である。一方、完全に同次的部分空間から得られる特定の対称テンソル族（例：）は次元が立方的に増加する。