[論文レビュー] Orthogonality and Numerical radius inequalities of operator matrices

‎Arpita Mal, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2019

Matrix Theory and Algorithms参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素ヒルベルト空間上の有界線形作用素の空間における数値半径ノルムに関するバーキホフ＝ジェイムズ直交性の完全な特徴付けを確立する。この特徴付けを用いて、特に上三角行列やブロック構造を持つ $n\times n$ 行列作用素の数値半径に対する改善され一般化された下界を導出する。数値例により、従来の結果よりも tighter な推定が得られることを示している。

ABSTRACT

We completely characterize Birkhoff-James orthogonality with respect to numerical radius norm in the space of bounded linear operators on a complex Hilbert space. As applications of the results obtained, we estimate lower bounds of numerical radius for $n imes n$ operator matrices, which improve on and generalize existing lower bounds. We also obtain a better lower bound of numerical radius for an upper triangular operator matrix.

研究の動機と目的

• 複素ヒルベルト空間における $\mathbb{B}(\mathbb{H})$ における数値半径ノルムに関するバーキホフ＝ジェイムズ直交性の完全な特徴付けを達成すること。
• 既知の既存の下界を改善する $n\times n$ 行列作用素の数値半径に対する鋭い下界を導出すること。
• 直交性の性質を用いて、上三角作用素行列の下界を一般化および精緻化すること。
• 具体例を通じて、提案された下界が [10, Th. 3.7]、[7, Cor. 3.3]、および [8] よりもタイトであることを示すこと。

提案手法

• 数値半径直交性 $T \perp_w A$ を、すべての $\lambda \in \mathbb{C}$（実数の場合 $\mathbb{R}$）に対して $w(T + \lambda A) \geq w(T)$ を満たす条件として定義・導入する。
• $T \perp_w A$ であるための同値条件を確立し、$T^* \perp_w A^*$ やスカラー倍における不変性 $\alpha T \perp_w \beta A$ も含む。
• 自己随伴作用素 $T$ に対しては、$T \perp_w A$ ならば $T \perp_B A$（バーキホフ＝ジェイムズ直交性）が成り立つことを証明し、$T^2 = 0$ であるべき作用素 $T$ に対しては、$T \perp_B A$ ならば $T \perp_w A$ が成り立つことを示す。
• 直交性の特徴付けを応用し、特に上三角行列の構造を用いた、ブロック行列の数値半径の下界を導出する。
• 不等式 $w(T) \geq \max\{w(A), w(D), \|B\|/2\}$ を用いて、$T = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D \end{bmatrix}$ の場合に [10, Th. 3.7] よりも一般化・改善された下界を得る。
• 定理 3.5 をスカラー行列に適用し、$w(A) \geq \max_i w(T_i)$ を示す。ここで $T_i$ は $A$ から第 $i$ 行および第 $i$ 列をゼロ化した行列である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素ヒルベルト空間における $\mathbb{B}(\mathbb{H})$ において、数値半径ノルムに関するバーキホフ＝ジェイムズ直交性を完全に特徴付ける方法は何か？
• RQ2 この特徴付けが、$n \times n$ 行列作用素の数値半径の下界を導出する上で及える影響は何か？
• RQ3 新しい下界は、特に上三角行列やブロック構造を持つ行列に対して、既存のものよりも改善できるか？
• RQ4 どの状況で新しい下界が、[10, Th. 3.7] や [7, Cor. 3.3] のような既知の推定値を厳密に上回るか？

主な発見

• 本稿では、自己随伴作用素 $T$ に対しては $T \perp_w A$ ならば $T \perp_B A$ が成り立ち、$T^2 = 0$ であるべき作用素 $T$ に対しては $T \perp_B A$ ならば $T \perp_w A$ が成り立つことを示し、二つの直交性概念の間の関係を明確にした。
• 上三角作用素行列 $T = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D \end{bmatrix}$ に対して、$w(T) \geq \max\{w(A), w(D), \|B\|/2\}$ が成り立つことを証明した。これは [10, Th. 3.7] の $w(T) \geq \max\{w(A), w(D), \frac{1}{2}w(B)\}$ よりもタイトである。
• 定理 3.5 により、スカラー行列に対して新たな下界 $w(A) \geq \max_i w(T_i)$ が得られ、ここで $T_i$ は $A$ から第 $i$ 行および第 $i$ 列をゼロ化した行列である。この下界は、$B$ がゼロのとき [8] の $w(T) \geq w(B)$ よりも優れている。
• 例 3.5.1 において、特定の $3 \times 3$ 行列に対して提案された下界は $w(T) \geq 4.55$ を与え、これは従来の推定値（2.236 から 3.654 の間）をすべて上回り、顕著な改善を示している。
• 定理 3.4 の下界は、$m(A_j) = m(A_j^*) = 0$ の場合に [7, Cor. 3.3] よりも厳密に優れており、最小固有値の絶対値が非ゼロであっても、依然として競争力を持つ。