[論文レビュー] Orthomodular Lattices and a Quantum Algebra

Norman D. Megill, Mladen Pavičić|ArXiv.org|Mar 24, 2001

Advanced Algebra and Logic参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正規直交モジュラー格子内において5つの量子操作と1つの古典的操作を統一する新しい量子代数（QA）を導入し、古典論理操作が量子操作から導出可能であることを示している。コンピュータ支援のアルゴリズムを用いて、可換性条件下での結合則および分配則の証明を行い、ヒルベルト空間および多数のグリーチェ図において主要な量子恒等式が成り立つことを示しているが、すべての正規直交モジュラー格子における完全な分配則の成立は未解決の問題のまま残っている。

ABSTRACT

We show that one can formulate an algebra with lattice ordering so as to contain one quantum and five classical operations as opposed to the standard formulation of the Hilbert space subspace algebra. The standard orthomodular lattice is embeddable into the algebra. To obtain this result we devised algorithms and computer programs for obtaining expressions of all quantum and classical operations within an orthomodular lattice in terms of each other, many of which are presented in the paper. For quantum disjunction and conjunction we prove their associativity in an orthomodular lattice for any triple in which one of the elements commutes with the other two and their distributivity for any triple in which a particular one of the elements commutes with the other two. We also prove that the distributivity of symmetric identity holds in Hilbert space, although it remains an open problem whether it holds in all orthomodular lattices, as it does not fail in any of over 50 million Greechie diagrams we tested.

研究の動機と目的

• 正規直交モジュラー格子を、1つの量子操作に基づく基礎的な代数的構造として再定式化すること。
• 正規直交モジュラー格子内において、古典論理的演算子が量子演算子から導出可能であることを示すこと。
• 可換性条件の下で、量子演算子の結合則および分配則を証明すること。
• ヒルベルト空間および5000万以上のグリーチェ図において、量子分配恒等式の妥当性を調査すること。
• 弱い格子、例えば弱く直交モジュラー格子（WOML）においても、量子恒等式が成り立つかを検討すること。

提案手法

• 正規直交モジュラー格子内におけるすべての量子および古典的演算子間の同値性を導出するため、2変数式の簡約を目的としたコンピュータアルゴリズムを開発した。
• 置換規則を用いて、標準的な公理を置き換える1つの量子結合（Cup）に基づく新しい量子代数（QA）を定義した。
• 古典的結合が、5つの量子結合（i=0,…,5）すべてに有効な1つの式として表現可能であることを証明した。
• 1つの要素が他の2つの要素と可換である場合に、量子結合および量子積の条件付き結合則を確立した。
• ゴドウスキ格子における分配恒等式の妥当性を検証し、5000万以上のグリーチェ図を用いて一般性を評価した。
• 導出されたすべての恒等式についてのアルゴリズムおよび証明を提供した。主な結果は、補題および定理に埋め込まれている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規直交モジュラー格子内において、古典論理的演算子は量子演算子から一意に導出可能か？
• RQ2 量子恒等式の分配法則は、すべての正規直交モジュラー格子で成り立つか、それともヒルベルト空間のような特定のクラスでのみ成り立つか？
• RQ3 1つの要素が他の2つの要素と可換である場合に、量子結合および量子積の条件付き結合則は有効か？
• RQ4 1つの量子操作に基づいて量子代数を定義でき、古典的演算子を導出された実体として扱えるか？
• RQ5 ヒルベルト空間およびすべてのテスト済みのグリーチェ図で成り立つ特定の量子恒等式が、WOMLのような弱い格子でも成り立つか？

主な発見

• 古典的結合は、5つの量子結合（i=0,…,5）すべてに有効な1つの式として表現可能であり、深い統一性を示している。
• 1つの要素が他の2つの要素と可換である場合、任意の正規直交モジュラー格子において、量子結合および量子積の結合則が成り立つ。
• 量子恒等式の分配則はゴドウスキ格子およびしたがってヒルベルト空間において成り立つが、すべての正規直交モジュラー格子においては未解決のままである。
• 5000万以上のグリーチェ図をテストしたが、式 (7.5) および (7.7) の2つの恒等式および分配法則の反例は見つからなかった。
• 量子代数QAは、置換規則によってのみ定義されており、標準的公理（A1–A7）は基礎ではなく、結果として導かれるものである。
• 本稿では、QAの有限公理化および弱く直交モジュラー格子（WOML）における恒等式の妥当性といった未解決問題を同定している。