[論文レビュー] Orthonormal bases of Hilbert spaces

Ilijas Farah|ArXiv.org|Aug 13, 2009

Matrix Theory and Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ブルース・ブラックダーアが提起した問いに答え、非分離ヒルベルト空間が、その空間の正規直交基底を含まない稠密な線形部分空間を含えることを証明している。超限再帰と ℓ²(θ) 内の射影の性質を用い、特定の集合論的条件下でこのような部分空間を構成し、グラム・シュミット過程が非分離設定に一般化されないことを示している。

ABSTRACT

I prove that a Hilbert space has the property that each of its dense (not necessarily closed) subspaces contains an orthoormal basis if and only if it is separable.

研究の動機と目的

• 非分離ヒルベルト空間の稠密な線形部分空間が、その空間の正規直交基底を含まなければならないかどうかという未解決問題を解消すること。
• 分離ヒルベルト空間では正規直交基底を保証する古典的グラム・シュミット過程が、非分離の場合に失敗することを示すこと。
• ℓ²(θ) 内で、与えられた濃度 λ < θ を超えるサイズの正規直交族を含まない稠密な部分空間の明示的例を構成すること。
• このような部分空間が存在するための集合論的条件を明確にすること、特に濃度算術と正則性に関連して。

提案手法

• 超限再帰を用いて、ℓ²(θ) 内に {y_{γ,m}} と表される稠密なベクトルの集合を構成し、それらの ℓ²(λ) への射影が線形独立であるようにする。
• ℂ 上での ℓ²(λ) のハメル基底を用い、再帰的構成の過程で射影の線形独立性を保証する。
• K を {y_{γ,m}} の線形包として定義し、K に制限した射影 p_λ の核が自明であることを証明する。
• 補題1 を適用する。この補題は、正則な非可算濃度 θ と ℓ²(θ) 内の正規直交族について、すべての可算個を除くすべてのベクトルが ℓ²(λ) に直交することを述べている。
• H = ℓ²(𝔠) ⊕ ℓ²(θ) の分解を用い、K ⊆ ℓ²(𝔠) で、大きさが ℵ₀ を超える正規直交族を含まないような稠密な部分空間 K₁ = K ⊕ ℓ²(θ) を H 内に構成する。
• 一般化された Δ-システム補題を用いて、共通の射影サポートを持つ大きなベクトル族を抽出し、命題4の条件(1)のもとで、大きさ θ の正規直交族の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分離ヒルベルト空間の稠密な線形部分空間は、常にその空間の正規直交基底を含むのか？
• RQ2 グラム・シュミット過程は、非分離ヒルベルト空間へ拡張可能であり、稠密な部分空間から正規直交基底を抽出できるのか？
• RQ3 濃度 θ と λ に対して、どのような集合論的条件が、ℓ²(θ) 内で大きさ > λ を超える正規直交族を含まない稠密な部分空間の存在を保証するか？
• RQ4 ヒルベルト空間のサイズが θ の線形部分空間が、常に大きさ θ の正規直交族を含むことが保証される条件は何か？
• RQ5 連続体の濃度と非可算正則濃度の性質が、このような部分空間の存在にどのように影響するか？

主な発見

• H = ℓ²(θ) である非分離ヒルベルト空間には、H の正規直交基底を含まない稠密な線形部分空間が存在し、ブラックダーアの問いに対して否定的解答を与える。
• θ > 2^ℵ₀ のとき、H = ℓ²(𝔠) ⊕ ℓ²(θ) 内の稠密な部分空間 K₁ = K ⊕ ℓ²(θ) を構成でき、それの中に大きさ θ の正規直交族は存在しない。
• θ が正則で、かつすべての λ < θ に対して λ^ℵ₀ < θ が成り立つとき、ヒルベルト空間内のサイズ θ の任意の線形部分空間は、大きさ θ の正規直交族を含む。
• ℓ²(θ) 内に構成された K は、射影 p_λ を K に制限したとき、核が自明であることを保証する。これは、p_λ によって 0 に写像されるのは 0 ベクトルのみであることを意味する。
• このような部分空間の存在は濃度算術に強く依存しており、λ^ℵ₀ ≥ θ のとき、ハメル基底からの再帰的選択によってこのような部分空間を構成可能である。
• 主な障害は、H 内の任意の正規直交基底が、ℓ²(𝔠) への非ゼロ射影を持つ非可算個のベクトルを含まなければならないが、このようなベクトルは構成された K の核条件を破るためである。