[論文レビュー] Oscillating behavior of a compartmental model with retarded noisy dynamic infection rate

Michael Bestehorn, Thomas M. Michelitsch|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2023

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、記憶効果を伴う分散遅れ積分でモデル化された遅れ付きフィードバック制御感染率を導入することで、SIRS疫病モデルを拡張している。その結果得られる遅れ微分方程式系は、遅れが臨界閾値を超えると持続的振動を誘発する。さらに、確率的ノイズが不規則で波状の流行を誘発し、周波数や振幅が変動する。

ABSTRACT

Our study is based on an epidemiological compartmental model, the SIRS model. In the SIRS model, each individual is in one of the states susceptible (S), infected(I) or recovered (R), depending on its state of health. In compartment R, an individual is assumed to stay immune within a finite time interval only and then transfers back to the S compartment. We extend the model and allow for a feedback control of the infection rate by mitigation measures which are related to the number of infections. A finite response time of the feedback mechanism is supposed that changes the low-dimensional SIRS model into an infinite-dimensional set of integro-differential (delay-differential) equations. It turns out that the retarded feedback renders the originally stable endemic equilibrium of SIRS (stable focus) into an unstable focus if the delay exceeds a certain critical value. Nonlinear solutions show persistent regular oscillations of the number of infected and susceptible individuals. In the last part we include noise effects from the environment and allow for a fluctuating infection rate. This results in multiplicative noise terms and our model turns into a set of stochastic nonlinear integro-differential equations. Numerical solutions reveal an irregular behavior of repeated disease outbreaks in the form of infection waves with a variety of frequencies and amplitudes.

研究の動機と目的

• 時間遅れを伴う抑制フィードバック機構が、SIRS疫病モデルにおけるエンドミック平衡の安定性に与える影響を調査すること。
• 非線形区分モデルにおける遅延フィードバックに起因する持続的振動の出現を分析すること。
• 遅れ付きSIRSフレームワークにおける感染率ダイナミクスに環境的ノイズが与える影響を検討すること。
• 感染抑制措置の有限応答時間を持つ現実的なフィードバック制御を疫病対策戦略にモデル化すること。
• 確定的系が周期的振動を示す場合でも、ノイズ駆動の不規則な波状流行パターンに至る遷移を探索すること。

提案手法

• 過去の感染レベルの記憶積分を用いて、フィードバック制御感染率を有する非線形SIRSモデルを構築する。
• 緩和的応答時間のモデル化のために、正規化された因果的確率密度関数 K(t−τ) を用いた分散遅れを導入する。
• 感染率に乗法的ノイズを追加することで、非線形確率的積分微分方程式系を導出する。
• エンドミック平衡の安定性解析を行い、臨界遅れ値でホップ分岐点を特定する。
• 数値シミュレーションを用いて確率的遅れ微分方程式を解き、感染者および感受性者集団の時系列挙動を分析する。
• 分岐理論および数値継続法を用いて、安定な焦点から不安定な焦点への遷移とその振動解を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 感染率のフィードバック制御における有限時間遅れが、SIRSモデルにおけるエンドミック平衡の安定性に与える影響は何か？
• RQ2 感染者および感受性者数に持続的で規則的な振動が生じる条件は何か？
• RQ3 乗法的環境的ノイズが遅れ付きフィードバックとどのように相互作用し、感染症流行のダイナミクスを変化させるか？
• RQ4 本モデルは、現実のパンデミックで観察される周波数や振幅が変動する不規則で波状の流行を再現できるか？
• RQ5 記憶核 K(t−τ) は、感染率および集団の振動ダイナミクスの時間的変化をどのように規定するか？

主な発見

• フィードバック機構に分散遅れを導入することで、元々安定であったエンドミック平衡が、遅れが臨界閾値を超えると不安定な焦点に変化する。
• 数値的解法により、時間遅れフィードバックに起因する感染者および感受性者数の持続的で規則的な振動が出現することが示された。
• 感染率に乗法的ノイズを組み込むことで、広範な周波数および振幅を有する不規則で波状の流行が生じる。
• ノイズ駆動のダイナミクスは、確定的系が規則的な振動を示す場合でも、現実のパンデミック波に類似した複雑で非周期的な挙動を示す。
• 遅れとノイズの両方が、追加の非線形性や極限サイクル機構を必要とせずに、複雑な疫病ダイナミクスを生成可能であることをモデルが示した。
• 振動の発生に至る臨界遅れ値は、特にフィードバック強度および回復率といったモデルパラメータに依存する。