[論文レビュー] Oscillating Sequences, Minimal Mean Attractability and Minimal Mean-Lyapunov-Stability

Aihua Fan, Yunping Jiang|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、モービウス関数やリウヴィル関数を一般化した振動列を導入し、最小平均吸引的（MMA）および最小平均-L安定的（MMLS）な力学的流れを定義する。すべての振動列がすべてのMMAおよびMMLS流れから線形的に分離されることを証明し、p進多項式、良い還元を持つ有理写像、トーラス自己同型、フェイゲンバック写像、円周の同相写像を含む、広範なゼロエントロピー系へのサルナック予想の拡張を達成する。

ABSTRACT

We define oscillating sequences which include the Möbius function in the number theory. We also define minimally mean attractable flows and minimally mean-L-stable flows. It is proved that all oscillating sequences are linearly disjoint from minimally mean attractable and minimally mean-L-stable flows. In particular, that is the case for the Möbius function. Several minimally mean attractable and minimally mean-L-stable flows are examined. These flows include the ones defined by all $p$-adic polynomials, all $p$-adic rational maps with good reduction, all automorphisms of $2$-torus with zero topological entropy, all diagonalized affine maps of $2$-torus with zero topological entropy, all Feigenbaum zero topological entropy flows, and all orientation-preserving circle homeomorphisms.

研究の動機と目的

• スペクトル的および成長条件によって定義される、より広いクラスの列—振動列—を導入することで、モービウス関数の線形分離に関するサルナック予想を一般化すること。
• 最小平均吸引的（MMA）および最小平均-L安定的（MMLS）力学系を定義・特徴づけ、平均等連続性の概念を拡張すること。
• すべての振動列がすべてのMMAおよびMMLS流れから線形的に分離されることを示す一般化された分離結果を確立すること。
• p進写像、トーラス自己同型、フェイゲンバック写像、および向きを保つ円周の同相写像を含む、主要なゼロエントロピー系がMMAおよびMMLSであることを確認し、それらの振動列からの分離性を裏付けること。
• 数論的列（例：モービウス関数）に対する線形分離性を、多様な力学系において統一的に証明する枠組みを提供すること。

提案手法

• 指数和における一様なキャンセル、すなわちすべての t ∈ [0,1) に対して ∑ₙ₌₁ᴺ cₙ e⁻²πint = oₜ(N) が成り立ち、かつ部分和の ℓλ-有界性、すなわちある λ > 1 に対して ∑ₙ₌₁ᴺ |cₙ|λ = O(N) が成り立つという2条件によって、振動列を定義する。
• 漸近的密度としての小領域への帰還時間の密度を用いて、等連続的および平均等連続的系の一般化として、最小平均吸引的（MMA）および最小平均-L安定的（MMLS）な流れを導入する。
• 一様連続性および不変測度を用いて、弱い条件下でMMAおよびMMLS流れが平均等連続的流れと同値であることを証明する。
• 散乱区間を有するデニョイ型反例および回転流れへの準同型写像の構造を用いて、MMLS性を分析する。
• 同型写像が帰還時間の密度および区間包含を保存することを活用し、非定常区間の漸近的密度が小さいことを示し、それによってMMLS性を導く。
• 主要定理を具体的な系に適用する：p進多項式および良い還元を持つ有理写像は等連続的であり、したがってMMAおよびMMLSである。円周の同相写像は、デニョイ反例および回転への同型写像を用いてMMLSであることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロエントロピー力学系から線形的に分離される、モービウス関数より広いクラスの数論的列は存在するか？
• RQ2 点ごとの制御ではなく密度による軌道分離の制御を捉えるために、平均等連続性の概念を一般化できるか？
• RQ3 良い還元を持つp進多項式および有理写像は、最小平均吸引的または最小平均-L安定的流れを生じるか？
• RQ4 無理数回転数をもつ向きを保つ円周の同相写像はMMLSであるか、したがって振動列から分離されるか？
• RQ5 トーラス自己同型やフェイゲンバック写像のような多様な系において、振動列と力学系との分離性を一様に確立できるか？

主な発見

• ある λ > 1 に対して ∑ₙ₌₁ᴺ |cₙ|λ = O(N) を満たすすべての振動列は、すべての最小平均吸引的および最小平均-L安定的流れから線形的に分離される。
• モービウス関数はすべての向きを保つ円周の同相写像から線形的に分離され、これはカラグリヤンの結果を特別な場合として確認する。
• ℤₚ 上のすべてのp進多項式流れおよびℙ¹(ℚₚ) 上の良い還元を持つp進有理写像は等連続的であり、したがって最小平均吸引的および最小平均-L安定的である。
• トポロジカルエントロピーがゼロである2次元トーラスのすべての自己同型および対角化されたアフィン写像は、最小平均吸引的および最小平均-L安定的である。
• トポロジカルエントロピーがゼロであるすべてのフェイゲンバック写像は最小平均-L安定的であり、したがって振動列から分離される。
• Lebesgue測度がゼロの非定常集合をもつデニョイ反例はMMLSであり、それらの位相的同型写像はMMLS性を保存するため、すべてのこのような円周の同相写像はMMLSである。