[論文レビュー] Oscillating waves and optimal smoothing effect for one-dimensional nonlinear scalar conservation laws

Pierre Castelli, Stéphane Junca|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元非線形スカラー保存則に対して滑らかで振動する解を構築し、Lions-Perthame-Tadmor予想が予測する最良の正則性に達することを示す。超臨界幾何光学と、 Hölder型の振動が制御された初期データの新規構成を用いて、エンタルピー解が $ W^{s,1}_{\text{loc}} $ の正則性を正確に達成できることを証明する。ここで $ s < \alpha $、$ \alpha = 1/d $ であり、$ d $ は特異性の次数である。この上限は鋭く、一般の非線形フラックスに対しては、より高い正則性は不可能である。結果として、分数階BV空間における予想された滑らか化効果の鋭さが裏付けられる。

ABSTRACT

Lions, Perthame, Tadmor conjectured in 1994 an optimal smoothing effect for entropy solutions of nonlinear scalar conservations laws . In this short paper we will restrict our attention to the simpler one-dimensional case. First, supercritical geometric optics lead to sequences of $C^\infty$ solutions uniformly bounded in the Sobolev space conjectured. Second we give continuous solutions which belong exactly to the suitable Sobolev space. In order to do so we give two new definitions of nonlinear flux and we introduce fractional $BV$ spaces.

研究の動機と目的

• スカラー保存則のエンタルピー解におけるLions-Perthame-Tadmor予想の最良滑らか化効果の鋭さを調査すること。
• $ \alpha = 1/d $ である場合に、$ s < \alpha $ に対して $ W^{s,1}_{\text{loc}} $ で一様有界であるような明示的な $ C^\infty $ 解を構成すること。
• 一般の非線形フラックスに対して、$ W^{s+\eta,1}_{\text{loc}} $ に属さない解を示すことにより、$ W^{s,1}_{\text{loc}} $ よりも良い正則性は一般に期待できないことを示すこと。
• 分数階 $ BV $ 空間を導入し、エンタルピー解の正則性の鋭い閾値を特徴付けること。

提案手法

• $ C^\infty $ 周期関数 $ g(y) $ を用いて、高周波数で小振幅の振動を持つ初期データを構成し、特に $ g(y) = y^b \cos(\pi / y^c) $ とし、$ b d = 1 + c $ を満たすように制御された Hölder 型の振るまいを確保する。
• WKB型展開を用いた超臨界幾何光学を適用し、$ s = 1/d $ に対して $ W^{s,1}_{\text{loc}} $ で一様有界な近似解を導出する。
• 特性曲線の方法を用いて、初期データとフラックス導関数 $ a(u) = f'(u) $ を用いて、解 $ u(t,x) $ を明示的に定義し、連続性と局所的正則性を保証する。
• $ f^{(k)}(\underline{u}) = 0 $（$ k \leq d $）を満たす特異点 $ \underline{u} $ の周りでの $ a(u) $ のテイラー展開を用い、解の等高線の正則性を制御する。
• 変数変換 $ \theta_t(y) = y + t a(\underline{u} + \delta g(y)) $ を定義し、$ \delta $ が小さく $ t < T_\delta $ の場合に $ \theta_t $ が $ C^1 $ 微分同相写像であることを示し、正則性構造を保存することを示す。
• 逆写像の Hölder 性質と $ g(y) $ の振動を分析することで、解 $ u(t, \cdot) $ が $ BV^s(\mathbb{R}) $ には属するが、任意の $ \eta > 0 $ に対して $ BV^{s+\eta}(\mathbb{R}) $ には属しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非線形フラックスを有する1次元スカラー保存則のエンタルピー解について、予想された最良滑らか化効果 $ u(t, \cdot) \in W^{s,1}_{\text{loc}} $（$ s < \alpha $）が達成可能か。
• RQ2 正則性閾値 $ s = \alpha $ は鋭いか、一部のフラックスではより高い正則性が期待できるか。
• RQ3 特異性次数 $ d $ を有するフラックスに対して、初期データの高周波振動を用いて構成された解の正確な正則性は何か。
• RQ4 分数階BV空間と特異性パラメータ $ d $ は、エンタルピー解の正則性とどのように関係するか。
• RQ5 任意の $ \eta > 0 $ に対して $ W^{s+\eta,1}_{\text{loc}} $ に属さないが、$ W^{s,1}_{\text{loc}} $ で一様有界であるような明示的な $ C^\infty $ 解を構成可能か。

主な発見

• 本稿は、$ d $ をフラックスの特異性とし、$ \alpha = 1/d $ とすると、$ s < \alpha $ に対して $ W^{s,1}_{\text{loc}} $ で一様有界な $ C^\infty $ 解の列を構築し、予想された正則性境界が裏付けられる。
• 任意の $ \eta > 0 $ に対して、$ BV^s(\mathbb{R}) $ には属するが $ BV^{s+\eta}(\mathbb{R}) $ には属しない解が存在することを示し、正則性閾値 $ s = \alpha $ が鋭いことを証明する。
• 構築された解は連続的であり、すべての $ t > 0 $ に対して古典的意味で保存則を満たす。これは、正則性が弱解またはエンタルピーレベルの性質に限らないことを示している。
• この方法により、$ C^\infty $ フラックスに対して、Lions-Perthame-Tadmor予想の最良滑らか化効果が鋭いことが裏付けられる。なぜなら、より高い正則性は一様に期待できないからである。
• この結果は、特異性 $ d $ を有するフラックスに依存しており、その場合の最良正則性は $ W^{s,1}_{\text{loc}} $（$ s = 1/d $）であり、この上限は改善できない。
• すべての $ s \in (0,1] $ に対して、$ f(u) = |u|^{1+p} $（$ p = 1/s $）というべき乗則フラックスを選び、必要な Hölder 指数に一致する振動を持つ初期データを構成することで、この結果が成り立つ。