[論文レビュー] Oscillation of a Linear Delay Impulsive Differential Equation

Leonid Berezansky, Elena Braverman|ArXiv.org|Feb 7, 1995

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 7被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、線形遅れインパルス微分方程式の振動挙動と、係数を変更した対応する非インパルス方程式との間の同値性を確立する。インパルス係数の逆数の積を用いて変換方程式を構築することで、著者たちは振動解析を標準的な遅れ微分方程式に還元し、インパルス系に既存の非インパルス振動基準を適用可能にする。

ABSTRACT

The main result of the paper is that the oscillation (non-oscillation) of the impulsive delay differential equation $\dot {x}(t)+\sum_{k=1}^m A_k(t)x[h_k(t)]=0,~~t\geq 0$, $x(τ_j)=B_jx(τ_j-0), \lim τ_j = \infty$ is equivalent to the oscillation (non-oscillation) of the equation without impulses $\dot {x}(t)=\sum_{k=1}^m A_k(t) \prod_{h_k(t)

研究の動機と目的

• インパルス遅れ微分方程式の振動理論の不足を補うために、非インパルス方程式への橋渡しを確立すること。
• インパルス方程式の振動（非振動）が、導出された非インパルス方程式のそれと同値であることを証明すること。
• 非インパルス理論の既知の結果を用いて、インパルス系の明示的な振動および非振動基準を提供すること。
• 基本関数の正値性と解表現に基づく、振動を分析するための新規な手法を提案すること。

提案手法

• 関連する時間区間における元の係数とインパルス要因の逆数の積に係数を置き換えることで、非インパルス方程式を導出する。
• 基本関数 $ X(t,s) $ を含む解表現公式を用いて、インパルスおよび非インパルス方程式の解を結びつける。
• 非振動と、$ t \geq t_0 $ に対して正の基本関数 $ X(t,s) $ の存在との同値性を確立する。
• 非振動と、一般化された特徴方程式に類似した非線形積分不等式の可解性との同値性を証明する。
• 変換された方程式に既知の非インパルス方程式の振動基準を適用し、インパルス系の振動結果を導出する。
• 主要な変換として、補助非インパルス方程式 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t) \prod_{h_k(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} x[h_k(t)] = 0 $ を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形遅れインパルス微分方程式の振動挙動が、非インパルス方程式とどの条件下で同値となるか。
• RQ2 非インパルス遅れ方程式の振動基準を、係数変換によってインパルス系に拡張可能か。
• RQ3 基本関数がインパルス遅れ方程式の非振動解を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ4 インパルスの大きさ $ B_j $ およびインパルス時刻 $ \tau_j $ は、システムの振動特性にどのように影響するか。
• RQ5 非インパルス理論の既知の結果を用いて、インパルス遅れ方程式の明示的振動条件を導出可能か。

主な発見

• インパルス方程式 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t)x[h_k(t)] = 0 $ とインパルス $ x(\tau_j) = B_j x(\tau_j - 0) $ の振動（非振動）は、非インパルス方程式 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t) \prod_{h_k(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} x[h_k(t)] = 0 $ のそれと同値である。
• インパルス系の非振動は、すべての $ t \geq t_0 $ および $ s \in [t_0, t) $ に対して正の基本関数 $ X(t,s) $ の存在と同値である。
• 非振動は、ある $ t_1 \geq 0 $ に対して、非線形不等式 $ u(t) \geq \sum_{k=1}^m A_k^{t_1}(t) \exp\left\{ \int_{h_k^{t_1}(t)}^t u(s)ds \right\} \prod_{h_k^{t_1}(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} $ の可解性とも同値である。
• 明示的な振動基準が導出された：$ \liminf_{t\to\infty} \int_{\underline{h}(t)}^t \sum A_k(s) \prod_{h_k(s)<\tau_j\leq s} B_j^{-1} ds > 1/e $ または $ \limsup_{t\to\infty} \int_{\bar{h}(t)}^t \sum A_k(s) \prod_{h_k(s)<\tau_j\leq s} B_j^{-1} ds > 1 $ ならば、すべての解が振動する。
• この手法により、インパルス効果を含む係数変換を介して、既知の非インパルス振動結果をインパルス系に移行可能である。
• 有界な遅れ、可測な係数、正のインパルス係数 $ B_j > 0 $ の仮定の下で、同値性が成立する。