[論文レビュー] Oscillations and Random Perturbations of a FitzHugh-Nagumo System

Catherine Doss, Michèle Thieullen|ArXiv.org|Jun 15, 2009

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、大偏差理論を用いて、確率的摂動を受けるフィッツフーリュ・ナグumo系を研究し、決定論的系が単安定性を示す場合でも、ノイズが振動や新たな極小循環を誘発することを示している。ノイズ誘発分岐と準安定ダイナミクスを同定し、確率的摂動が古典的な決定論的パラメータ範囲外でも持続的振動を生成できることを示している。

ABSTRACT

We consider a stochastic perturbation of a FitzHugh-Nagumo system. We show that it is possible to generate oscillations for values of parameters which do not allow oscillations for the deterministic system. We also study the appearance of a new equilibrium point and new bifurcation parameters due to the noisy component.

研究の動機と目的

• 決定論的系にそのような振動が存在しない場合に、確率的摂動がフィッツフーリュ・ナグumo系に振動を生成できるかを調査すること。
• 速-遅ダイナミクス系における確率的ノイズによって生じる新たな平衡点および極小循環の出現を分析すること。
• 決定論的設定には存在しないが、ノイズによって誘発される新たな分岐パラメータを同定すること。
• 大偏差推定を用いて、確率的系が準安定ダイナミクスを示す、または極小循環に収束するための条件を確立すること。

提案手法

• 膜電位および回復変数を伊藤型SDEでモデル化し、小さなノイズパラメータεと小さな時空間分離パラメータδを有する確率的速-遅系を用いる。
• 安定平衡点の吸引域間の抜去時間および遷移確率を分析するために、大偏差原理を適用する。
• 速変数Xₜを遅変数Yₜで条件づけた漸近的解析を実施し、速い部分系の臨界点を用いて安定分岐を定義する。
• 遅い過程の位置に応じて、y軸の異なる領域で有効ベクトル場x₊*(y)−aおよびx₋*(y)−aを用いて、Yₜの遅い運動を分析する。
• 準安定性の概念およびストキャスティックレゾナンス理論を用いて、ノイズが安定状態間の遷移を可能にし、持続的振動を生じることを説明する。
• 摂動された力学系におけるフレイドリンの大偏差理論の結果を応用し、系が極小循環または準安定状態に収束するための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的系が単安定かつ非振動的であるパラメータ範囲内において、確率的摂動がフィッツフーリュ・ナグumo系に振動を誘発できるか？
• RQ2 ノイズは系の分岐構造をどのように変化させ、決定論的ケースに存在しない新たな平衡点や極小循環を生じさせるか？
• RQ3 ノイズ強度εおよび時空間分離δのどの条件が、準安定的振動的挙動の出現をもたらすか？
• RQ4 εとδの相対的強度、特に比ε|log δ|/δが、系のダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ5 決定論的系にそのような循環が存在しない場合でも、確率的系が極小循環を示すことは可能か？もしそうならば、どのようなパrameter範囲で成立するか？

主な発見

• ノイズは、決定論的系が単安定性（つまりa < a₀またはa > a₁）である場合でも、持続的振動を誘発でき、ストキャスティックレゾナンスの一形態を示している。
• ノイズ誘発遷移による準安定状態間の遷移により、決定論的モデルに存在しない新たな極小循環が確率的系に出現する。
• ノイズと速-遅構造の相互作用によって生じる、決定論的a₀およびa₁とは異なる新たな分岐パラメータが存在する。
• c > Sの場合、遅い過程Yₜは確率的に周期Tᵃ(c) = T₁ᵃ(c) + T₂ᵃ(c)の極小循環に収束する。この極小循環は、速い部分系の右および左の安定分岐間の遷移によって形成される。
• a < x₋*(y*)またはa > x₊*(y*)の場合、系は極小循環に収束せず、代わりに安定平衡点に収束する。これは、ノイズ誘発振動がパラメータ値に依存することを示している。
• 抜去時間における大偏差推定およびy軸の異なる領域における遅い過程の有効ベクトル場への一様収束を用いて、極小循環への収束が確立されている。