[論文レビュー] Osculating Varieties of Veronesean and their higher secant varieties

Alessandra Bernardi, Maria Virgina Catalisano+2 more|ArXiv.org|Mar 8, 2004

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、逆系とアポラリー理論を用いて、ヴェロネーゼ埋め込みの接する多様体の高次セカント多様体の次元を調査する。これらのセカント多様体が欠損的である条件を確立し、形式およびファットポイントスキームの組み合わせ的性質に基づいた明示的な欠損的下界を提供する。

ABSTRACT

We consider the varieties $O_{k,n.d}$ of the k-osculating spaces to the Veronese varieties, the $d-$uple embeddings of $\PP n$; we study the dimension of their higher secant varieties. Via inverse systems (apolarity) and the study of certain spaces of forms we are able, in several cases, to determine whether those secant varieties are defective or not.

研究の動機と目的

• ヴェロネーゼ埋め込みの接する多様体の高次セカント多様体がいつ欠損的であるかを特定すること。
• $O_{k,n,d}^s$、つまりヴェロネーゼ埋め込み $X_{n,d}$ の $k$-番目の接する多様体の $(s-1)$-番目の高次セカント多様体の欠損的性質を特徴付けること。
• 逆系とアポラリー技法を用いて、接する空間の線形包の次元を分析すること。
• 形式の次数と変数の関係から得られる二項係数に基づいて、$O_{k,n,d}^s$ の欠損的下界を定量的に確立すること。
• 欠損的性質が、ファットポイントスキームが予期しない条件を課える場合にのみ生じるという仮説を提示し、幾何的欠損的性質とポストュレーション問題を結びつけること。

提案手法

• Terraciniの補題を用いて、$O_{k,n,d}^s$ の次元を一般点における接空間の線形包に関連付ける。
• 逆系（アポラリー）による形式とイデアルの双対性を応用し、接する空間の線形従属性を研究する。
• ベクトル空間 $W_1 + \cdots + W_s = \big\langle x_0^{\beta} R_k, x_0^{\beta-1}F_1 R_1, \dots, x_{s-1}^{\beta} R_k, x_{s-1}^{\beta-1}F_s R_1\big\rangle$（ここで $\beta = d - k$）を分析し、期待次元と実際の次元を計算する。
• スパンに含まれない $R_d$ 内の単項式の組み合わせ的数え上げを用いて欠損的性質を検出する。特に $s \leq n$ または $s = n+1$ の場合を対象とする。
• $k$-ファットポイントの $s$-重組とそのイデアル $\mathcal{I}_{Z,X} \otimes \mathcal{L}$ の構造を活用し、$h^0$-消失を介してコホロロジー次元と欠損的性質を計算する。
• 特に $x_i^{\beta} R_k \cap x_i^{\beta-1}F_{i+1}R_1$ のような交差項や $i \neq j$ の $x_i^{\beta} x_j^{\beta} F$ のようなクロス項から生じる生成元間の独立関係を特定し、欠損的下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェロネーゼ埋め込み $X_{n,d}$ の $k$-番目の接する多様体の $s$-番目の高次セカント多様体 $O_{k,n,d}^s$ がいつ欠損的であるか？
• RQ2 $n$, $d$, $k$, $s$ の間にどのような組み合わせ的条件が $O_{k,n,d}^s$ の欠損的性質を引き起こすか？
• RQ3 ファットポイントスキームのポストュレーション性質は、$O_{k,n,d}^s$ の欠損的性質とどのように関係するか？
• RQ4 形式の次数と変数の数から得られる二項係数を用いて、$O_{k,n,d}^s$ の欠損的性質を下界で評価できるか？
• RQ5 $O_{k,n,d}^s$ が期待次元に到達しない条件は何か？その原因は何か？

主な発見

• $s \leq n$ かつ $k+2 \leq d \leq 2k$ のとき、多様体 $O_{k,n,d}^s$ は欠損的であり、期待次元が $\binom{d+n}{n}$ の場合、欠損的度 $\delta \geq \binom{n-s+d}{d}$ が成り立つ。
• $s \leq n$ で期待次元が $s\binom{k+n}{n} + sn$ のとき、欠損的度は少なくとも $\binom{s}{2} \binom{2k-d+n}{n}$ であり、これは $x_i^{\beta} x_j^{\beta} F$ 項の間の独立関係に起因する。
• $s = n+1$、$k+2 \leq d \leq 2k$、期待次元が $ (n+1)\left(\binom{k+n}{n} + n\right) $ のとき、欠損的度は $\delta \geq \binom{n+1}{2} \binom{2k-d+n}{n}$ を満たす。
• $s = n+1$、$n \geq \frac{k+2}{d-k-2}$、期待次元が $N = \binom{d+n}{n}$ のとき、欠損的度は少なくとも $\binom{(n+1)(d-k-1)-(d+1)}{n}$ であり、これは次数 $d$ で指数が制限された単項式の数え上げから導かれる。
• 欠損的性質は、生成元間の非自明な関係、特にファットポイントに付随するイデアルの交わりや、スパンに含まれない $R_d$ 内の対称単項式に起因する。
• 著者らは、$O_{k,n,d}^s$ の欠損的性質が、スキーム $X$ や $T$ のポストュレーションが予期しない条件を課える場合にのみ生じるとの仮説を提示し、幾何的欠損的性質と代数的ポストュレーション問題を結びつける。