[論文レビュー] Out-of-time-order correlator in weakly perturbed integrable systems

Tomer Goldfriend, Jorge Kurchan|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、弱く摂動された可積分系における量子リャプノフ指数を、時系列外相関関数（OTOC）を用いて調査し、古典的接空間ダイナミクスに類似した線形スーパーオペレータ方程式を導出する。半古典的極限において、量子リャプノフ指数はε^{1/3}に比例し、古典的値と一致するが、高次量子的領域では量子ゆらぎがカオスを抑制し、小さな摂動ではさらにε^{1/3}依存性が抑制されることが判明した。

ABSTRACT

Classical quasi-integrable systems are known to have Lyapunov times much shorter than their ergodicity time, but the situation for their quantum counterparts is less well understood. As a first example, we examine the quantum Lyapunov exponent -- defined by the evolution of the 4-point out-of-time-order correlator (OTOC) -- of integrable systems which are weakly perturbed by an external noise, a setting that has proven to be illuminating in the classical case. In analogy to the tangent space in classical systems, we derive a linear superoperator equation which dictates the OTOC dynamics. We find that {\em i)} in the semi-classical limit the quantum Lyapunov exponent is given by the classical one: it scales as $ε^{1/3}$, with $ε$ being the variance of the random drive, leading to short Lyapunov times compared to the diffusion time (which is $\sim ε^{-1}$). {\em ii)} in the highly quantal regime the Lyapunov instability is suppressed by quantum fluctuations, and {\em iii)} for sufficiently small perturbations the $ε^{1/3}$ dependence is also suppressed -- another purely quantum effect which we explain. Several numerical examples which demonstrate the theoretical predictions are given. The implication for the results to the behavior of real near-integrable systems, and for quantum limits on chaos are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 弱く摂動された可積分系における量子リャプノフ指数の振る舞いを理解すること。ここでは、古典的類似物が短いリャプノフ時間を持つ。
• 古典的準可積分ダイナミクスとその量子類似物との間のギャップを埋めること。特に、カオスと不安定性に関して。
• 弱いノイズ下での可積分系におけるOTOCダイナミクスの古典的接空間方程式の量子類似物を導出すること。
• 半古典的振る舞いと完全に量子的効果との間の相互作用が、カオスの出現に与える影響を分析すること。
• 近可積分量子系におけるリャプノフ不安定性の量子的抑制を、数値的および解析的証拠で提示すること。

提案手法

• 弱く摂動された可積分量子系における4点OTOCの時間発展を記述する線形スーパーオペレータ方程式を導出する。
• OTOCの指数的増大率を用いて、古典的カオス指標に類似した方法で量子リャプノフ指数を定義する。
• 半古典的極限を用いて、量子OTOCダイナミクスを古典的リャプノフ振る舞い（特にノイズ分散εのε^{1/3}スケーリング）に接続する。
• 高次量子的領域で系を分析し、量子ゆらぎが不安定性を抑制する役割を評価する。
• 小さな摂動におけるε^{1/3}依存性の抑制を、完全に量子的効果として同定・解釈する。
• 異なる摂動強度および量子的振る舞いの領域で、理論的予測を検証する数値シミュレーションを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半古典的極限において、弱く摂動された可積分系における量子リャプノフ指数はどのように振る舞い、古典的ε^{1/3}スケーリングを回復するか？
• RQ2 量子ゆらぎは、近可積分量子系におけるリャプノフ不安定性をどの程度抑制できるか？
• RQ3 小さなノイズ強度においてなぜε^{1/3}依存性が抑制されるのか。この量子的効果の起源は何か？
• RQ4 弱い摂動下における量子可積分系のOTOCダイナミクスは、古典的接空間ダイナミクスとどのように比較できるか？
• RQ5 これらの発見は、カオスの量子的限界および現実の近可積分系の振る舞いにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 半古典的極限において、量子リャプノフ指数はε^{1/3}に比例し、古典的値と一致する。これにより、拡散時間∼ε^{-1}と比較して短いリャプノフ時間が得られる。
• 高次量子的領域では、量子ゆらぎがリャプノフ不安定性を抑制しており、これは古典的カオスとは根本的に異なることを示している。
• 十分に小さな摂動では、ε^{1/3}依存性が抑制され、これは古典的ダイナミクスに存在しない完全に量子的効果である。
• OTOCダイナミクスに対して導出された線形スーパーオペレータ方程式は、古典的接空間方程式の量子類似物である。
• 数値例は、半古典的および高次量子的両領域で理論的予測を確認している。
• 結果から、量子的効果が近可積分系におけるカオスの出現に根本的な制限を課していることが示唆される。