[論文レビュー] Outer actions of a countable discrete amenable group on approximately finite dimensional factors I, General Theory

Yoshikazu Katayama, Masamichi Takesaki|ArXiv.org|Jan 31, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可分な離散的アーベル群作用に対する近似的に有限次元（AFD）因子上での外的同型分類を完成させ、特に型III因子に注目している。修正されたHusemeyer-Jones-Ratcliffe完全系列を導入し、特徴的コサイクルとモジュラー障害を分析することで、外的同型が群作用下での因子の内在的不変量（重みの流れ、モジュラス、特徴的正方形、モジュラー障害）の引き戻しによって分類されることを確立している。

ABSTRACT

We associate a cohomological invariant to each outer action of a group on a factor, and classify them by the invariant in the case that the group is a countable discrete amenable group and the factor is appoximately finite dimensional. The invariant defined for the group Out(M)=Aut(M)/Int(M) is called the intrinsic modular obstruction. The invariant for an outer action alpha is given as the pull back of the intrinsic modular obstruction, which is called the modular obstruction of alpha and denoted by Ob_m(alpha). This is the first part of the theory and presents general theory. In the case that the factor is not of type III_0, the invariant is substantially simplified. These cases and examples will be discussed in forthcoming paper.

研究の動機と目的

• 可分な離散的可換群の外的作用がAFD因子上に作用する際の外的同型分類を完成させること、特に型III因子に対して焦点を当てる。
• Ocneanuが以前に要請していた型II∞の場合の技術的仮定を除去すること。
• 因子の内在的不変量を用いて、コサイクル同型から外的同型への分類枠組みを拡張すること。
• 特徴的コサイクルおよびそれに関連する完全系列の定義とその外的作用分類における役割の分析。
• 外的同型が群作用下での因子の内在的不変量（重みの流れ、モジュラス、特徴的正方形、モジュラー障害）の引き戻しによって決定されることを確立すること。

提案手法

• 因子のユニタリ群、中心化群、コホモロジー群を含む、可換な完全系列である特徴的正方形を構成する。
• 特徴的コサイクル $({\rm λ}, \mu) \in {\rm Z}_{\alpha}(\tilde{H}, L, A)$ を定義し、コサイクル類 $\chi$ に依存する正規部分群 $K(\chi) \subset L$ を関連付ける。
• 商群 $\tilde{Q} = Q \times \mathbb{R}$ 上での標準的3次コサイクルと標準的コバウンダリーの商として、群 ${\rm H}^{3}_{{\alpha}, \rm s}(\tilde{Q}, A)$ を導入する。
• ファイバー積構成：${\rm H}^{{\rm out}}_{{\alpha}, \mathfrak{s}}(G \times \mathbb{R}, N, A) = {\rm H}^{3}_{{\alpha}, \rm s}(\tilde{Q}, A) \ast_{\mathfrak{s}} {\rm Hom}_G(N, {\rm H}^1_\theta)$ を用い、コホモロジーと等変ホモモーフィズムを結びつける。
• 修正されたHusemeyer-Jones-Ratcliffe完全系列を適用し、${{\rm Cnt}}_{\rm r}(\mathcal{M})$-作用への摂動の障害を分析する。
• 3次コサイクル $c(\tilde{p}, \tilde{q}, \tilde{r})$ の非自明性と、特定のモジュラー自己同型の内部でない性質を用いて、$\alpha_{\mathfrak{s}}$ が ${{\rm Cnt}}_{\rm r}(\mathcal{M})$-作用に摂動できないことを証明し、分類を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分な離散的可換群作用がAFD因子上に作用する際の外的同型分類は、特に型III因子に対して完成可能か？
• RQ2 因子の内在的不変量は外的同型で保存されるか？また、群作用によってどのように引き戻されるか？
• RQ3 型II∞の場合における技術的仮定はどのようにして除去され、分類が完成するか？
• RQ4 特徴的コサイクルおよびそれに関連する完全系列は、外的作用分類においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 どのような条件下で外的作用が、トレースの中心化群による作用に摂動可能か？

主な発見

• 型III AFD因子上での可換な離散群作用の外的同型類は、因子の内在的不変量（重みの流れ、モジュラス、特徴的正方形、モジュラー障害）の引き戻しによって完全に分類される。
• 作用に関連する3次コサイクル $c(\tilde{p}, \tilde{q}, \tilde{r})$ は ${\rm H}^{3}_{{\alpha}, \rm s}(\tilde{Q}, A)$ において非自明であり、これは作用 $\alpha_{\mathfrak{s}}$ が ${{\rm Cnt}}_{\rm r}(\mathcal{M})$-作用に摂動できないことを示している。
• 3次コサイクルの非自明性は、モジュラー自己同型 $\sigma_{T(ab' - a'b)}^\varphi$ の内部でない性質に起因し、$T$ の選択と矛盾を生じさせ、障害の自明化を防ぐ。
• ${\rm H}^{3}_{{\alpha}, \rm s}(\tilde{Q}, A}$ 内でのコホモロジー的障害 $[c \cdot \alpha_p(\partial_Q(b))] \neq 1$ が確認されることで、作用が ${{\rm Cnt}}_{\rm r}(\mathcal{M})$-作用と外的同型でないことが裏付けられる。
• 3次コホモロジー群と ${{\rm H}}^1_\theta$ への等変ホモモーフィズムを結ぶファイバー積構成により、分類が達成された。
• 従来の分類を一般化し、技術的仮定を除去するとともに、コサイクル同型から外的同型への枠組みの拡張が達成された。