[論文レビュー] Outlaw distributions and locally decodable codes

Jop Briët, Zeev Dvir+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、期待値を少数のサンプルで近似することが難しい、滑らかなブール関数上の確率分布である「アウトロー分布」を導入し、定数クエリの局所デコード可能符号（LDC）の存在と関連付ける。このようなアウトロー分布が存在するならば、O(1)-クエリのLDCが存在することを証明し、有限幾何、加法的組合せ論、およびハイパーグラフ非拡張性から構成を提供する。特に、新規の「ジェンガハイパーグラフ」フレームワークを導入し、サブ指数的長さで定数クエリ複雑性を持つ新しいLDCを構築する。

ABSTRACT

Locally decodable codes (LDCs) are error correcting codes that allow for decoding of a single message bit using a small number of queries to a corrupted encoding. Despite decades of study, the optimal trade-off between query complexity and codeword length is far from understood. In this work, we give a new characterization of LDCs using distributions over Boolean functions whose expectation is hard to approximate (in~$L_\infty$~norm) with a small number of samples. We coin the term `outlaw distributions' for such distributions since they `defy' the Law of Large Numbers. We show that the existence of outlaw distributions over sufficiently `smooth' functions implies the existence of constant query LDCs and vice versa. We give several candidates for outlaw distributions over smooth functions coming from finite field incidence geometry, additive combinatorics and from hypergraph (non)expanders. We also prove a useful lemma showing that (smooth) LDCs which are only required to work on average over a random message and a random message index can be turned into true LDCs at the cost of only constant factors in the parameters.

研究の動機と目的

• 局所デコード可能符号（LDC）の新たな特徴付けを、確率的および幾何的概念を用いて行う。
• 期待値を少数のサンプルで近似することが難しい分布として「アウトロー分布」を定義し、大数の法則に反する。
• 滑らかな関数上に存在するようなこのような分布の存在が、定数クエリLDCの存在を示唆することを示す。
• 有限体のインシデント幾何、加法的組合せ論、およびハイパーグラフ非拡張性を用いて、アウトロー分布の具体的な構成を提供する。
• 「ジェンガハイパーグラフ」フレームワークを導入し、非擬似乱数的ハイパーグラフを生成する手法として用い、新たなLDCを構築する。

提案手法

• 離散微分のスペクトルノルムが小さい関数をσ-滑らか関数と定義し、顕著な変数が存在しないことを保証する。
• 期待値をL∞-ノルム誤差内で近似するのにΩ(k)サンプルが必要な分布を「アウトロー分布」として導入する。
• σ-滑らかな関数上の分布がアウトローであれば、コードワード長がexp(Ω(k))であるO(1)-クエリLDCが得られることを証明する。
• ジェンガハイパーグラフモデルを用いる：t-一様ハイパーグラフが(k,ε)-ジェンガであるとは、辺集合を分割した上でk個のマッチングをランダムに選ぶと、確率1/2以上で非ε-擬似乱数的部分グラフが得られることを意味する。
• ハイパーグラフからLDCを構築する際、頂点のコピー上に多項式関数を定義し、その関数の期待値からのL∞-ノルム逸脱を解析する。
• 集中法および擬似乱数性の議論を適用し、非擬似乱数性が関数期待値における大きな逸脱を引き起こすことを示し、これによりLDCの構築が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 少数のサンプルで推定が困難な滑らかなブール関数上の分布を用いて、局所デコード可能符号を特徴付けられるか？
• RQ2 ランダムなマッチングを選択した際に非擬似乱数的部分グラフを生成するハイパーグラフの構造的性質は何か？
• RQ3 ジェンガハイパーグラフモデルは、定数クエリLDCの存在とどのように関係するか？
• RQ4 t-一様ハイパーグラフが(k,ε)-ジェンガのままである最大のマッチング数kは何か？ これはnに対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 既知の組合せ的対象（有限幾何やマッチングベクトル系）を用いてアウトロー分布を構築できるか？

主な発見

• σ-滑らかな関数上のアウトロー分布は、コードワード長がexp(Ω(k))であるO(1)-クエリの局所デコード可能符号の存在を示唆する。
• もし(k,ε)-ジェンガであるt-一様ハイパーグラフが存在するならば、メッセージ長l = Ω(ε²k/t⁴ log(t²/ε))の(t,1,Ω(ε/t²))-LDCが存在し、コードワード長はtnである。
• t=2（グラフ）の場合、κJ(n,2,ε) = Θ(log n)であり、ランダムケイリー群から得られる既知の境界と一致し、ハダマード符号と同等のパラメータを持つ2クエリLDCが得られる。
• Fₘᵖ 上のp-一様ハイパーグラフで、辺を非自明な直線とするものについて、あるε = ε(p)（pにのみ依存）に対して(mᵖ⁻¹, ε)-ジェンガである。
• (k,ε)-ジェンガハイパーグラフの存在は、ジェンガフレームワークを介して、定数クエリ複雑性を持つサブ指数的長さのLDCの存在を示唆する。
• 重要な補題として、平均的LDCはパrameterに定数因子の損失のみで真のLDCに変換可能であることが示される。