[論文レビュー] Outlier Detection for DNA Fragment Assembly

Christina Boucher, Christine Lo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、DNA断片アセンブリにおける誤り訂正をモデル化するため、一部の著しく誤ったリード（外れ値）を特定して除外する必要があるという点を考慮して、Consensus String with Outliers問題を導入する。この問題に対しては、目的値をパrameterとするPTASおよびFPTアルゴリズムを提示し、問題がPTASを備えるが、FPT=W[1]でない限りEPTASを備えないことを証明しており、これは同種の複雑さプロファイルを持つ最初の問題である。

ABSTRACT

Given $n$ length-$\ell$ strings $S =\{s_1, ..., s_n\}$ over a constant size alphabet $Σ$ together with parameters $d$ and $k$, the objective in the {\em Consensus String with Outliers} problem is to find a subset $S^*$ of $S$ of size $n-k$ and a string $s$ such that $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s) \leq d$. Here $d(x, y)$ denotes the Hamming distance between the two strings $x$ and $y$. We prove 1. a variant of {\em Consensus String with Outliers} where the number of outliers $k$ is fixed and the objective is to minimize the total distance $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s)$ admits a simple PTAS. (ii) Under the natural assumption that the number of outliers $k$ is small, the PTAS for the distance minimization version of {\em Consensus String with Outliers} performs well. In particular, as long as $k\leq cn$ for a fixed constant $c < 1$, the algorithm provides a $(1+ε)$-approximate solution in time $f(1/ε)(n\ell)^{O(1)}$ and thus, is an EPTAS. 2. In order to improve the PTAS for {\em Consensus String with Outliers} to an EPTAS, the assumption that $k$ is small is necessary. Specifically, when $k$ is allowed to be arbitrary the {\em Consensus String with Outliers} problem does not admit an EPTAS unless FPT=W[1]. This hardness result holds even for binary alphabets. 3. The decision version of {\em Consensus String with Outliers} is fixed parameter tractable when parameterized by $\frac{d}{n-k}$. and thus, also when parameterized by just $d$. To the best of our knowledge, {\em Consensus String with Outliers} is the first problem that admits a PTAS, and is fixed parameter tractable when parameterized by the value of the objective function but does not admit an EPTAS under plausible complexity assumptions.

研究の動機と目的

• ゲノムシーケンシングにおける著しく誤ったリード（外れ値）を処理できない古典的誤り訂正モデルの限界を是正すること。
• 合意文字列から著しく逸脱する少数の外れ値リードを明示的に取り入れる新しい問題—Consensus String with Outliers—を形式化すること。
• さまざまなパrameter化の下での問題の近似可能性およびパラメータ化された複雑さを分析すること。
• 特にEPTASに関する、効率的な近似スキームの存在に関するタイトな理論的境界を確立すること。

提案手法

• 合意文字列と、合意文字列への総ハミング距離を最小化する $ n-k $ 個の非外れ値リードの部分集合を求める問題として、Consensus String with Outliers問題を形式化する。
• パラメータ $ k $ が固定されている場合の距離最小化変種に対してPTASを開発し、ハイパーグラフ列挙と分数被覆数の境界を組み合わせる。
• パラメータ化された還元およびギャップを保つ還元を適用し、問題がFPT=W[1]でない限りEPTASを備えないことを証明する。これは二進アルファベットに対しても成り立つ。
• 分数被覆数が有界であることを活用して、合意のずれが生じる候補位置をハイパーグラフに基づいて特定する。
• 候補合意文字列から高々 $ heta $ 個の位置で異なる文字列に対する動的探索を実行し、部分ハイパーグラフ検出を用いて探索空間を削減する。
• 合意距離の合計 $ d $ と非外れ値数 $ n-k $ の比 $ d/(n-k) $ をパラメータとして用いる場合の固定パラメータ可 tractability を、新しいアルゴリズムフレームワークにより証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合意形成に歪みをもたらす著しく誤ったリード（外れ値）を明示的に検出し、除外することで、DNA断片アセンブリにおける誤り訂正を改善できるか？
• RQ2 Consensus String with Outliers問題は多項式時間近似スキーム（PTAS）を備えるか。そのパラメータ依存性は何か？
• RQ3 目的関数値 $ d/(n-k) $ をパラメータとして用いた場合、問題は固定パラメータ可 tractable か。その複雑さ的含意は何か？
• RQ4 PTASをEPTASに向上させることは可能か。その向上に向けた障壁は何か？
• RQ5 問題の近似可能性とパラメータ化された複雑さの関係は何か。特にFPT=W[1]のような妥当な複雑さ仮定の下で。

主な発見

• パラメータ $ k $ が固定されている場合、距離最小化変種に対してPTASが存在し、実行時間は $ f(1/ heta)(n heta)^{O(1)} $ である。このスキームは、硬い距離制約を伴うサイズ最大化変種に対しても適応可能である。
• パラメータ $ k < cn $（$ c<1 $ である定数）の下では、PTASはEPTASに発展し、実行時間は $ f(1/ heta)(n heta)^{O(1)} $ となる。これは外れ値が疎である仮定下で優れた性能を示す。
• 問題は、FPT=W[1]でない限りEPTASを備えない。これは二進アルファベットに対しても成り立ち、タイトな複雑さ境界を確立する。
• 決定版は $ d/(n-k) $ をパラメータとして固定パラメータ可 tractable であり、比が有界であるため $ d $ をパラメータとする場合にも同様に成り立つ。
• この問題は、目的関数値をパラメータとしてPTASを備え、FPTであるが、EPTASを備えないという複雑さプロファイルを持つ最初の既知の問題である。
• 硬さ結果は、パラメータ化された還元とギャップを保つ還元を新規に組み合わせており、ストリングロジーにおける複雑さ解析のための新技術を提供する。