[論文レビュー] Output Feedback Control of Inhomogeneous Parabolic PDEs with Point Actuation and Point Measurement using SOS and Semi-Separable Kernels

Aditya Gahlawat, Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、点制御および点測定を伴う1次元非一様な放物型PDEに対して、出力フィードバック制御則を設計するための、平方和（SOS）および準可分カーネルに基づく手法を提案する。二次的リャプノフ関数、制御則、観測器をSOS多項式および正定値行列でパラメータ化することにより、有限な$L_2$ゲインと安定性を保証する線形作用素不等式（LOI）を定式化し、多項式次数が十分に高い場合に可制御かつ可観測な系に対して数値的証拠が得られている。

ABSTRACT

In this paper we use SOS and SDP to design output feedback controllers for a class of one-dimensional parabolic partial differential equations with point measurements and point actuation. Our approach is based on the use of SOS to search for positive quadratic Lyapunov functions, controllers and observers. These Lyapunov functions, controllers and observers are parameterized by linear operators which are defined by SOS polynomials. The main result of the paper is the development of an improved class of observer-based controllers and evidence which indicates that when the system is controllable and observable, these methods will find a observer-based controller for sufficiently high polynomial degree (similar to well-known results from backstepping).

研究の動機と目的

• 点測定および点制御のみを用いた非一様な放物型PDEの出力フィードバック境界制御則の設計を目的とする。
• 従来のSOSに基づく制御手法を、非一様的かつ不安定な可能性のあるPDEにまで拡張し、均一な場合に限らない対象に適用することを目的とする。
• SOS多項式でパラメータ化された準可分カーネルおよび正定値作用素を用いて、より広範なクラスのリャプノフ関数を構築することを目的とする。
• 線形作用素不等式（LOI）を用いて、閉ループ系を安定化するための数値的に検証可能な条件を提供することを目的とする。
• 多項式次数が十分に高い場合に、可制御かつ可観測な系に対して、数値例を通じて本手法が成功することを示すこと

提案手法

• 本手法は、SOS多項式を用いて、PDE状態のための正定値作用素を定義する二次的リャプノフ関数をパラメータ化する。
• リャプノフ関数は、局所的項$M(x)w(x)^2$と、準可分カーネル$K(x,\xi)$を用いた非局所的積分項の組み合わせとして構築され、カーネルは多項式$K_1$および$K_2$によって区分的に定義される。
• 制御則および観測器は、ルエンバーガー観測器構造を用いて設計され、誤差ダイナミクスが外乱からの有限$L_2$ゲインを有することを要件とする。
• 安定性条件は、カーネルおよび乗数関数のパラメータ化を経て、線形作用素不等式（LOI）として定式化される。
• 得られた最適化問題は、半正定値計画法（SDP）を用いて解かれる。これにより、制御則および観測器ゲインの数値的計算が可能となる。
• 境界条件およびトレース項は、部分積分およびカーネル関数の対称性を巧みに活用して丁寧に取り扱われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SOSに基づく手法を、点制御および測定を伴う非一様な放物型PDEの安定化に拡張できるか？
• RQ2 準可分カーネルを用いたより広範なクラスのリャプノフ関数は、単純な形式に比べてPDEの制御則設計において改善をもたらすか？
• RQ3 多項式次数が十分に高い場合に、本手法は任意の可制御かつ可観測な系に対して有限な$L_2$ゲイン制御を達成するか？
• RQ4 SOSおよびSDPを用いたパラメータ化により、制御則、観測器、およびリャプノフ関数が、閉ループ安定性を保証する形で有効に表現可能か？
• RQ5 準可分カーネル構造が、PDEの有効なリャプノフ関数の構築を可能にする役割は何か？

主な発見

• 提案手法は、SOSおよび準可分カーネルを用いて、点制御および測定を伴う非一様な放物型PDEの出力フィードバック制御則を成功裏に設計した。
• 準可分カーネルの使用により、従来手法に比べてより豊かなリャプノフ関数のクラスが可能となり、柔軟性および安定化の可能性が向上した。
• 数値的結果により、閉ループ系において有限な$L_2$ゲインが達成されていることが示され、外部干渉に対してロバストであることが示された。
• 形式的証明ではないが、カーネル近似の多項式次数が十分に高い場合に、可制御かつ可観測な任意の系を安定化できることの証拠が提供された。
• 無限次元の制御問題が、有限次元のSOS/SDPプログラムに変換され、標準的なソルバを用いた数値的解法が可能となった。
• 非一様PDEに非一様項とより複雑なカーネル構造を組み込むことで、従来の均一PDEに関する研究を一般化した。