[論文レビュー] Output feedback exponential stabilization for 1-D unstable wave equations with boundary control matched disturbance

Hua‐Cheng Zhou, George H. Weiss|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形内部不確実性と外部有界不整合を含む総不整合にマッチした境界制御を備えた1次元不安定波方程式の出力フィードバック指数的安定化器を提示する。2つの変位測定値（w(0,t), w(1,t)）のみを用いて、低利回りの不整合推定器と状態観測器に基づく制御則を設計し、閉ループ系の指数的安定性を達成するとともに、すべての内部信号が一様有界であることを保証する。

ABSTRACT

We study the output feedback exponential stabilization of a one-dimensional unstable wave equation, where the boundary input, given by the Neumann trace at one end of the domain, is the sum of the control input and the total disturbance. The latter is composed of a nonlinear uncertain feedback term and an external bounded disturbance. Using the two boundary displacements as output signals, we design a disturbance estimator that does not use high gain. It is shown that the disturbance estimator can estimate the total disturbance in the sense that the estimation error signal is in $L^2[0,\infty)$. Using the estimated total disturbance, we design an observer whose state is exponentially convergent to the state of original system. Finally, we design an observer-based output feedback stabilizing controller. The total disturbance is approximately canceled in the feedback loop by its estimate. The closed-loop system is shown to be exponentially stable while guaranteeing that all the internal signals are uniformly bounded.

研究の動機と目的

• 非線形内部不確実性と外部有界不整合から成る総不整合を有する、ノイマン境界制御を施された1次元不安定波方程式の指数的安定化を解決すること。
• 速度測定が困難であるのに対し、変位測定値 w(0,t) と w(1,t) のみを出力信号として使用する出力フィードバック制御則の設計。
• 内部モデル不確実性および外部不整合の両方が存在する状況でも、閉ループ系の指数的安定性を達成すること。
• 高利回り技術に依存しない不整合推定器の開発を行い、推定誤差が $L^2[0,ty)$ に属することを保証すること。
• 推定不整合に基づく状態観測器を構築し、出力測定値のみを用いて全状態フィードバック制御を実現すること。

提案手法

• 高利回りを用いないことで、総不整合 $F(t) = f(w, w_t) + d(t)$ を推定する2つのPDEベースのダイナミクスを設計する。
• 測定された変位 $w(0,t)$ と $w(1,t)$ を、不整合推定器と観測器を駆動する唯一の出力信号として使用する。
• 不整合推定値とバックステッピングに基づく観測器設計を組み合わせることで、状態観測器の状態が真のシステム状態に対して指数的に収束するように、状態観測器を構築する。
• 推定された総不整合をフィードバックループ内でキャンセルする、観測器に基づく出力フィードバック制御則を実装する。
• 変換されたシステムを安定化するためにバックステッピング変換を適用し、状態ノルムの指数的減衰を保証する。
• リャプノフ関数とエネルギー推定を用いて、閉ループ系が指数的安定であり、すべての内部信号が一様有界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの変位測定値のみを用いて、境界制御が総不整合にマッチした1次元不安定波方程式の指数的安定化が達成可能か？
• RQ2 高利回り技術に依存せず、推定誤差が $L^2[0,ty)$ に属することを保証できる不整合推定器を設計可能か？
• RQ3 変位測定値のみを用いて、真のシステム状態に対して指数的に収束する状態観測器を構築可能か？
• RQ4 提案された観測器に基づく出力フィードバック制御則が、指数的安定性およびすべての内部信号の一様有界性を保証可能か？
• RQ5 境界に負のばねの代わりに負のダンパーを有する系へ本手法を拡張可能か？

主な発見

• 高利回り技術に依存せず、推定誤差が $L^2[0,ty)$ に属するように、不整合推定器は総不整合 $F(t)$ を効果的に推定した。
• 状態観測器は、観測器状態が真のシステム状態に対して指数的に収束することを保証し、推定誤差が時間とともに指数的に減少した。
• 閉ループ系は指数的安定であり、状態のノルム $(w, w_t)$ が指数的レートで減少する。具体的には、$\|(v(\cdot,t), v_t(\cdot,t))\|_{\mathbb{H}} \leq M_2 e^{-\mu_2 t} + 4M_1 e^{-\mu_1 t}$ という評価で示された。
• 閉ループ系のすべての内部信号、特に制御入力と観測器状態が一様有界に保たれた。
• スライディングモード制御を用いなくても、一般の有界不整合に対しても指数的安定化を達成した。
• 本手法は、ディリクレ境界制御とマッチング不整合を有する不安定波方程式など、他のPDE系へも、2つの変位測定値のみを用いて拡張可能である。