[論文レビュー] Output feedback exponential stabilization of a nonlinear 1-D wave equation with boundary input

Hua‐Cheng Zhou, George H. Weiss|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界入力が存在する非線形1次元波動方程式に対して、内部の不確実性と外部の摂動が共に存在する状況において、出力フィードバックによる指数的安定化手法を提示する。2つの変位測定値のみを用いて、高ゲインを用いない摂動推定器と状態観測器を設計し、バックステッピングおよびアクティブ摂動推定制御（ADRC）を用いて摂動の抑制と指数的安定化を実現する。主な貢献は、最小限の出力測定値で閉ループ系の指数的安定性を達成することにある。

ABSTRACT

This paper develops systematically the output feedback exponential stabilization for a one-dimensional unstable/anti-stable wave equation where the control boundary suffers from both internal nonlinear uncertainty and external disturbance. Using only two displacement signals, we propose a disturbance estimator that not only can estimate successfully the disturbance in the sense that the error is in $L^2(0,\infty)$ but also is free high-gain. With the estimated disturbance, we design a state observer that is exponentially convergent to the state of original system. An observer-based output feedback stabilizing control law is proposed. The disturbance is then canceled in the feedback loop by its approximated value. The closed-loop system is shown to be exponentially stable and it can be guaranteed that all internal signals are uniformly bounded.

研究の動機と目的

• 内部非線形不確実性と外部摂動が共に存在する1次元不安定／反安定波動方程式の出力フィードバックによる指数的安定化を解決すること。
• 高ゲインに依存しない推定器を設計し、全摂動（未知関数fと外部d）をL²(0,∞)の意味で推定すること。
• 測定出力と推定摂動を用いて、2つの出力信号のみを用いて真のシステム状態に指数的に収束する状態観測器を構築すること。
• 観測器に基づく出力フィードバック制御則を設計し、推定摂動をキャンセルすることで閉ループ系の指数的安定性を保証すること。
• 測定数を最小限に抑えるために、2つの変位信号（w(0,t)とw(1,t)）のみを用いることの妥当性を示すこと。

提案手法

• 高ゲイン構造を避けるPDEに基づく摂動推定器を用いた動的補償器を設計し、推定誤差のピークを回避する。
• 測定出力w(0,t)とw(1,t)を用いて、全摂動F(t) = f(w(·,t),w_t(·,t)) + d(t)をL²(0,∞)の意味で推定する。
• 摂動推定器に基づく状態観測器を設計し、測定出力と推定摂動を用いて、全状態(w, w_t)を指数的に再構成する。
• バックステッピングを用いて制御則を設計し、観測状態を用いてリアルタイムで推定摂動をキャンセルするフィードバック制御を形成する。
• 閉ループ系をヒルベルト状態空間で解析し、リャプノフ汎関数とエネルギー推定を用いて指数的安定性を証明する。
• 負の減衰がx=0に存在する代替の反安定波動方程式に対しても、同じ最小測定セットを用いて同様の指数的安定性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部不確実性と外部摂動が共に存在する非線形1次元波動方程式に対して、2つの出力信号のみを用いて指数的安定化を達成できるか？
• RQ2 高ゲインに依存しない推定器を設計し、全摂動のL²(0,∞)推定誤差を保証できるか？
• RQ3 測定された変位と推定摂動のみを用いて、真のシステム状態に指数的に収束する状態観測器を設計できるか？
• RQ4 摂動推定、状態観測、バックステッピング制御の組み合わせが、閉ループ系の指数的安定性をもたらすか？
• RQ5 提案手法を、境界に負のばねではなく負の減衰を持つ反安定波動方程式へ拡張できるか？

主な発見

• 提案された出力フィードバック制御則のもとで、閉ループ系は指数的安定であり、すべての内部信号が一様に有界である。
• 高ゲイン構造を用いないで、全摂動F(t)をL²(0,∞)の意味で正しく推定している。
• 未知の非線形性と摂動が存在する中でも、状態観測器は真の波動系状態に指数的に収束する。
• 2つの変位測定値のみを用いて指数的安定性を達成しており、必要なセンサ数がほぼ最小であることが示された。
• f ≡ d ≡ 0の場合、一時的状態（v, v_t, z, z_t, W）は正の率μ′ > 0で指数的に減衰する。
• 負の減衰がx=0に存在する反安定波動方程式に対しても、同じ最小測定セットを用いて指数的安定性が達成された。