[論文レビュー] Output tracking based on extended observer for nonlinear uncertain systems

Wang, Xinhua, Chen, Zengqiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2023

Adaptive Control of Nonlinear Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形で不確実性を有するシステムに対して、システムの不確実性および信号の微分（$ n $階まで）を推定する高利得拡張観測器を提案する。これにより、摂動が存在する中でも出力追従誤差およびその微分が速やかにゼロに収束することが可能になる。この観測器に基づく制御則は、漸近的安定性と誤差の急速な低減を保証し、非線形システムにおける正弦波出力追従の理論的分析およびシミュレーションにより検証されている。

ABSTRACT

A high-gain extended observer is designed for a class of nonlinear uncertain systems. This observer has the ability of estimating system uncertainty, and it can be used to estimate the derivatives of signal up to order n. The controller based on this extended observer can make the tracking error and its derivatives converge to zero rapidly even when uncertainties and disturbances exist. The result of simulation indicates that this method has satisfactory control performance for nonlinear uncertain systems.

研究の動機と目的

• 非線形システムにおける未知の摂動および不確実なダイナミクスを有する出力追従の課題に対処すること。
• 参照信号の微分（$ n $階まで）およびシステム不確実性の両方を推定可能な観測器の設計。
• 不確実性および摂動下でも追従誤差およびその微分が速やかにゼロに収束することの保証。
• 拡張観測器および全体の制御系の安定性の証明。
• 理論的分析およびシミュレーションを通じて、提案手法の有効性の提示。

提案手法

• 正の実数の集合 $ \lambda_i $ を用いて特徴多項式を構成し、その係数を $ h_i $ とする高利得拡張観測器を設計する。
• 状態空間モデルを用いて観測器構造を定義し、行列 $ A $、入力行列 $ B $、および小さな摂動パラメータ $ \varepsilon \in (0,1) $ を用いる。
• 観測器は、推定誤差ベクトル $ \widehat{e} $（不確実性項 $ x_{n+1} = f(\cdot) $ を含む）を、$ \varepsilon^{-i} (\widehat{e}_1 - e_1) $ に比例するフィードバック項を用いて推定する。
• スライディングモード制御則は、スイッチング変数 $ \sigma(t) = \widehat{e}_2 + \widehat{e}_1 $ を用い、有限時間収束を保証する到達則を採用する。
• リャプノフに基づく安定性解析により、推定誤差 $ \delta(t) = \widehat{e} - e $ が $ \varepsilon $ に比例するバインドに収束することを証明し、追従誤差 $ e(t) $ が $ \mathcal{O}(\sqrt{\varepsilon}) $ に収束することを示す。
• 観測器の固有値が $ -\lambda_i / \varepsilon^i $ に配置されるように構築され、$ \varepsilon \to 0^+ $ の際に高速収束を保証する。

Figure 1: System output tracking errors.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高利得拡張観測器は、非線形不確実システムにおいて、システム不確実性および参照信号の微分（$ n $階まで）を推定できるか？
• RQ2 不確実性下でも高速収束および有界な推定誤差を保証するように、観測器をどのように設計できるか？
• RQ3 未知の摂動が存在する中でも、出力追従誤差およびその微分がゼロに収束するようにする制御則は何か？
• RQ4 拡張観測器および全体の閉ループ系の安定性を厳密に証明できるか？
• RQ5 観測器利得パラメータ $ \varepsilon $ と追従誤差の最終的バインドとの間の定量的関係は何か？

主な発見

• 拡張観測器は、$ \varepsilon \to 0^+ $ の際に推定誤差 $ \|\delta(t)\| \to 0 $ が急速に収束し、不確実性および微分の正確な推定を実現する。
• 任意の固定された $ \varepsilon \in (0,1) $ に対して、推定誤差は $ \|\delta(t)\| \leq \frac{\varepsilon M}{\lambda} \|T\| \|T^{-1}\| $ に有界である。ここで $ M $ は不確実性の微分の上限、$ \lambda $ は最小の観測器固有値である。
• 追従誤差 $ \|e(t)\| $ は $ \sqrt{\varepsilon} $ に比例するバインドに収束する。すなわち $ \|e(t)\| \leq k_p \sqrt{\varepsilon} $ であり、$ k_p $ は正の定数である。
• シミュレーション結果から、非線形性および摂動が存在する非線形システムにおいても、$ y_d = 2\sin t $ の出力追従が高速かつ高精度に達成されている。
• スライディングモード制御則により、スライディング面 $ \sigma(t) = 0 $ への有限時間収束が保証され、その後システムは安定な低次元ダイナミクス状態に留まる。
• 理論的解析により、閉ループ系が漸近的に安定であり、リャプノフ関数が $ \eta_1 \Phi $ に比例する速度で減少することを確認し、誤差エネルギーの指数的減衰を保証する。