[論文レビュー] Overcoming exponential scaling with system size in Trotter-Suzuki implementations of constrained Hamiltonians: 2+1 U(1) lattice gauge theories

Dorota M. Grabowska, Christopher J. Kane+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2022

Quantum many-body systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2+1次元U(1)格子規準模型のトレッター＝スズキ量子シミュレーションにおける指数的ゲートスケーリングを低減する手法を提示する。具体的には、織りなぐ行列構成を用いて演算子基底を再定義することで、全スピンの和の非多項式関数を対数的スケールの項に変換し、システムサイズに応じて資源コストを指数的から多項式的スケーリングにまで削減する。

ABSTRACT

For many quantum systems of interest, the classical computational cost of simulating their time evolution scales exponentially in the system size. At the same time, quantum computers have been shown to allow for simulations of some of these systems using resources that scale polynomially with the system size. Given the potential for using quantum computers for simulations that are not feasible using classical devices, it is paramount that one studies the scaling of quantum algorithms carefully. This work identifies a term in the Hamiltonian of a class of constrained systems that naively requires quantum resources that scale exponentially in the system size. An important example is a compact U(1) gauge theory on lattices with periodic boundary conditions. Imposing the magnetic Gauss' law a priori introduces a constraint into that Hamiltonian that naively results in an exponentially deep circuit. A method is then developed that reduces this scaling to polynomial in the system size, using a redefinition of the operator basis. An explicit construction of the matrices defining the change of operator basis, as well as the scaling of the associated computational cost, is given.

研究の動機と目的

• トレッター＝スズキシミュレーションにおける制約付きハミルトニアンの量子資源の指数的スケーリングを解消すること。特に、周期的境界条件を満たすU(1)格子規準模型を対象とする。
• 磁気ガウスの法則制約を課すことにより、結合度（DoC）がシステムサイズに比例して増大し、指数的ゲート数を引き起こすことを特定する。
• 非多項式関数の結合度をO(N)からO(log N)に低減する一般化された手法を開発する。そのために演算子基底の変更を実施する。
• この基底変換が物理的整合性を保ちつつ、量子シミュレーションにおける回路の深さとゲート数を顕著に削減できることを示す。
• 変換行列の明示的構築とその計算コストの定量的評価を提供し、大規模システムへのスケーラビリティを示す。

提案手法

• 全スピンの和を含む非多項式関数（例：全フラックスの余弦）を、対数的サイズの項で表現するように演算子代数を再定義する基底変更を導入する。
• 低次元行列を再帰的に組み合わせる「織りなぐ」手順により変換行列を構築し、O(N log N)のコストで効率的な計算を実現する。
• 磁気ハミルトニアン項にこの基底変更を適用する。この項は局所的フラックス演算子の和の非多項式関数を含むが、結合度をO(N)からO(log N)に低減できる。
• 元々2次形式である電気ハミルトニアンは、基底変更後、最大O(N_p^2)の項を有する可能性があるが、磁気項における指数的削減と比較すれば無視できるコストである。
• Suzuki-Trotter分解を用いて時間発展をシミュレートする。これにより、結合度の低減のおかげで、指数的スケーリングから多項式的スケーリングに移行する。
• 変換行列およびその結果得られる量子回路の両方について、明示的な行列構築とスケーリング推定を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付きハミルトニアンのトレッター＝スズキシミュレーションにおける指数的ゲートスケーリングは、演算子基底の再定義によって緩和可能か？
• RQ2 U(1)格子規準模型におけるグローバル制約が引き起こす最大の結合度は何か？ そして、量子シミュレーションコストにどのように影響を与えるか？
• RQ3 非多項式関数（例：cos(∑Q_i)）を指数的リソースオーバーヘッドなしに、量子コンピュータ上で効率的に実装するにはどうすればよいか？
• RQ4 結合度を低減可能にする変換行列の構築コストは何か？ そして、システムサイズに応じて効率的にスケーリング可能か？
• RQ5 基底変更は理論の物理的内容を保持しつつ、スケーラブルな量子シミュレーションを可能にするか？

主な発見

• 提案された基底再定義により、非多項式関数の結合度がO(N)からO(log N)に低減され、指数的リソーススケーリングが多項式的スケーリングに変換された。
• 2×2格子で1演算子あたり2キュービットを用いる場合、元の基底ではO(10^5)ゲートが必要だが、織りなぐ基底ではO(10^2)ゲートにまで削減された。
• 4×4格子では、元の基底はO(10^9)ゲートにまで拡大するが、織りなぐ基底ではO(10^2)ゲートを維持し、顕著な削減が確認された。
• 変換行列はO(N log N)時間で構築可能であり、大規模システムへのスケーラビリティを有している。
• 電気ハミルトニアンの複雑さの増加はO(N_p^2 n_q^2)に抑えられ、磁気項における指数的削減と比較すれば無視できる。
• 本手法により、制約付きハミルトニアンのシミュレーションにおける指数的リソース障壁が打ち破られ、近い将来の装置でU(1)格子規準模型の実行可能な量子シミュレーションが可能になった。