[論文レビュー] Overconvergent de Rham-Witt cohomology for semistable varieties

Oliver Gregory, Andreas Langer|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の特性の完全体上の半安定多様体に対して、ハイド・カトー複体の過収束版を導入し、その有理型ハイパコホモロジーが、準射影的半安定多様体の対数剛体コホモロジーを計算することを証明する。さらに、過収束ハイド・カトーコホモロジーが射影的状況で対数クリスタルコホモロジーと一致することを示し、新しい複体を用いてモノドロミー作用素を記述する。

ABSTRACT

We define an overconvergent version of the Hyodo-Kato complex for semistable varieties $Y$ over perfect fields of positive characteristic, and prove that its hypercohomology tensored with $\mathbb{Q}$ recovers the log-rigid cohomology when $Y$ is quasi-projective. We then describe the monodromy operator using the overconvergent Hyodo-Kato complex. Finally, we show that overconvergent Hyodo-Kato cohomology agrees with log-crystalline cohomology in the projective semistable case.

研究の動機と目的

• 非射影的半安定多様体に対するハイド・カトー理論を、デ・ラーム・ウィット複体の過収束版を構成することで拡張すること。
• 準射影的半安定多様体に対して、過収束ハイド・カトーコホモロジーと対数剛体コホモロジーの比較を確立すること。
• 過収束ハイド・カトー複体を用いて、対数剛体コホモロジー上のモノドロミー作用素を記述すること。
• 射影的半安定状況において、過収束および古典的ハイド・カトーコホモロジーが一致することを証明すること。
• 元来のハイド・カトーの方法と現代的な松江フレームワークによる過収束複体の2つの構成法を統合し、それらの同値性を示すこと。

提案手法

• 重みフィルトレーションとウィットベクトル値微分形式の過収束条件を用いて、古典的ハイド・カトー複体 $W\theta_{Y/k}^\bullet$ の部分複体として過収束ハイド・カトー複体 $W^{\flat}\rho_{Y/k}^{\bullet}$ を構成する。
• モノドロミー作用素を対数剛体コホモロジーに適用する際、Mokshayev [Mok93] の手法を応用する。
• 対数デ・ラーム・ウィット複体を整数部と分数部に分解し、分数部がコホモロジー的に自明であることを示し、これにより過収束部が整数部として分離されることを保証する。
• $R = k$ の場合に、過収束複体がMatsuueの対数デ・ラーム・ウィット複体と一致することを証明し、文献における空白を埋める。
• $W_n$ 上の射影極限を用い、固有スキームのコホモロジー群の有限長さ性質を応用することで、射影的状況において $\mathbb{H}^*(Y, W^{\flat}\omega_{Y/k}^\bullet) \cong \mathbb{H}^*(Y, W\omega_{Y/k}^\bullet)$ が成り立つことを示す。
• [BMS16] および [Mat17] の結果を用い、$\theta_m = \sum d\log[T_i]$ を含む短完全系列と分数部のアセイクリティを応用し、分解と過収束部のアセイクリティを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性の完全体上の非射影的半安定多様体に対して、ハイド・カトー複体の過収束版を定義できるか？
• RQ2 過収束ハイド・カトー複体の有理型ハイパコホモロジーは、準射影的半安定多様体の対数剛体コホモロジーを計算するか？
• RQ3 過収束ハイド・カトー複体を用いて、対数剛体コホモロジー上のモノドロミー作用素をどのように記述できるか？
• RQ4 射影的半安定状況において、過収束ハイド・カトーコホモロジーは古典的対数クリスタルコホモロジーと同型か？
• RQ5 元来のハイド・カトー手法による過収束複体の構成と、松江の対数デ・ラーム・ウィット複体フレームワークによる構成は、同値か？

主な発見

• 過収束ハイド・カトー複体 $W^{\flat}\omega_{Y/k}^\bullet$ は、準射影的半安定多様体の対数剛体コホモロジーを計算する。$R\Gamma_{\text{log-rig}}(Y/\mathfrak{S}_0) \cong \mathbb{R}\Gamma(Y, W^{\flat}\omega_{Y/k}^\bullet \otimes \mathbb{Q})$ が成り立つ。
• 対数剛体コホモロジー上のモノドロミー作用素は、過収束ハイド・カトー複体を用いて記述され、[Mok93] の手法が一般化される。
• 射影的半安定状況において、自然な写像 $\mathbb{H}^*(Y, W^{\flat}\omega_{Y/k}^\bullet) \to \mathbb{H}^*(Y, W\omega_{Y/k}^\bullet)$ は、有限型の $W(k)$-加群としての同型である。
• 過収束複体は整数部と分数部に分解可能であり、分数部はアセイクリックであるため、$W^{\flat}\omega_{Y/k}^\bullet$ はその整数部とホモトピー同値（ quasi-isomorphic ）である。
• 過収束複体の2つの構成法——元来のハイド・カトー手法によるものと、松江の対数デ・ラーム・ウィット複体フレームワークによるもの——は一致する。後者は $R = k$ のとき古典的ハイド・カトー複体を回復し、文献における空白を解消する。
• 分数部のアセイクリティは多項式代数の場合に由来し、$W^{\flat}\omega_{Y/k}^\bullet$ の $p$- torsion free 性質により、$p^n$ で割ったコホモロジーが射影極限で保存される。