[論文レビュー] Overcrowding and hole probabilities for random zeros on complex manifolds

Bernard Shiffman, Steve Zelditch+1 more|ArXiv.org|May 16, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上の正のラインバンドルの高次のベクトル束のランダムな正則セクションのゼロ集合の体積に対する鋭い大偏差推定値を確立する。具体的には、期待値からδN以上逸脱するゼロ集合の体積が発生する確率が、exp(−Cδ,UNm+1) のように指数関数的に減少することを示す。この結果は、ホール確率（領域内にゼロが存在しない確率）や複素射影空間上のランダム多項式への応用を含む。

ABSTRACT

We give asymptotic large deviations estimates for the volume inside a domain U of the zero set of a random polynomial of degree N, or more generally, of a holomorphic section of the N-th power of a positive line bundle on a compact Kaehler manifold. In particular, we show that for all $δ>0$, the probability that this volume differs by more than $δN$ from its average value is less than $\exp(-C_{δ,U}N^{m+1})$, for some constant $C_{δ,U}>0$. As a consequence, the "hole probability" that a random section does not vanish in U has an upper bound of the form $\exp(-C_{U}N^{m+1})$.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体上の正のラインバンドルの高次のベクトル束のランダムな正則セクションのゼロ集合体積に対する漸近的大偏差推定値を確立すること。
• 固定された領域 U において、ランダムセクションのゼロ集合が予想値から著しく大きいか小さいかである確率を定量化すること。
• 「ホール確率」—すなわち、与えられた開集合 U 内にゼロを持たないランダムセクションの確率—に対する精密な上界を導出すること。
• これらの結果を複素射影空間における SU(m+1) ランダム多項式および Fubini-Study 計量のケースに拡張すること。
• 領域 U に対してややいなめらかな幾何的条件が成り立つ場合に、ホール確率の上下限を両方とも得ること。

提案手法

• 正のラインバンドル L の高次のベクトル束 H⁰(M, L^N) の空間に定義されたガウス確率測度 γN の使用。
• ゼロ集合体積の上界および下界を制御するために、滑らかな切り捨て関数 ψ1, ψ2 と関連するテスト形式 φ1, φ2 の構成。
• セクションの L²ノルムに対する大偏差推定値を提供する定理 1.5 の適用により、積分比較を介してゼロ集合体積を制御すること。
• 抽象的な設定を古典的な SU(m+1) ランダム多項式に接続するために、CP^m 上の Fubini-Study 計量の使用。
• 正規直交基底と L² および L∞ ノルムの比較を用いて、集中測度の性質を応用し、ホール確率の下界を導出すること。
• dN ∼ N^m であることと、直交セクションの sup-ノルムの減少を活用し、ランダム展開における係数の大きさを制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域 U におけるゼロ集合体積がその期待値から著しく逸脱する確率の減少レートは何か？
• RQ2 ランダムな正則セクションが固定された開集合 U 内にゼロを持たない確率（「ホール確率」）はどの程度小さいか？
• RQ3 δ および U に明示的な依存関係を持つように、すべての領域 U に対してゼロ集合体積の大偏差行動を一様に定量できるか？
• RQ4 多様体および領域 U の幾何的性質を用いて、ホール確率の正確な指数的減少レートは何か？
• RQ5 これらの結果は、複素射影空間におけるランダム SU(m+1) 多項式のケースにどのように特殊化されるか？

主な発見

• 任意の δ > 0 および境界 ∂U の測度がゼロである開集合 U に対して、U 内の正規化されたゼロ集合体積が期待値から δ 以上逸脱する確率は、exp(−Cδ,UN^{m+1}) のように減少する。
• ランダムセクションが U 内にゼロを持たないホール確率は、ある CU > 0 を用いて、γN{ZsN ∩ U = ∅} ≤ exp(−CU N^{m+1}) を満たす。
• U 上にゼロをとらないセクションが存在する場合、ホール確率は exp(−C'U N^{m+1}) で下から抑えられ、これは定数の違いを除いて減少レートが鋭いことを示している。
• 次数 N の SU(m+1) ランダム多項式において、有界領域 U 内の正規化されたユークリッドゼロ集合体積が期待値から δ 以上逸脱する確率は、exp(−Cδ,UN^{m+1}) のように減少する。
• 球体 B(r) ⊂ ℂ^m の場合、正規化された Nevanlinna 計数関数が r²/(1+r²) から逸脱する確率は、exp(−Cδ,B(r) N^{m+1}) のように減少する。
• 一般の正のラインバンドルを備えたコンpact Kähler多様体（複素次元 m）に対しても、結果は拡張可能であり、減少レートは U の体積および曲率形式 ωh に依存する。