[論文レビュー] Overdamped modes in Schwarzschild-de Sitter and a Mathematica package for the numerical computation of quasinormal modes

Aron Jansen|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スペクトル法による離散化と一般固有値問題への変換により、ブラックホールおよびブレーンの準正規モード（QNMs）を数値的に計算するためのMathematicaパッケージを紹介する。主な貢献は、従来の文献で見過ごされていた、シュワルツシルト＝デ・シーターモンドブラックホールにおける無限個の純虚数的・過減衰モードの発見に加え、多様な漸近的性質や結合された方程式に一般に適用可能な効率的で汎用的な計算手法の確立である。

ABSTRACT

We present a package for Mathematica that facilitates the numerical computation of the quasinormal mode (QNM) spectrum of a black hole/black brane. Requiring as input only the QNM equation(s), the application of a single Mathematica function will compute the spectrum efficiently, by discretizing the equation(s) and solving the resulting generalized eigenvalue equation. It is applicable to a large variety of black holes, independent of their asymptotics. The package comes fully documented and with several tutorials. Here we present a self-contained review of the method and consider several applications. We illustrate the method in the simplest case of scalar QNMs of a Schwarzschild black brane in anti-de Sitter. Then we go on to look at the scalar QNMs of the Schwarzschild black hole in de Sitter, in anti-de Sitter and in asymptotically flat spacetimes, finding a novel infinite set of purely imaginary modes in the first case. We also derive the QNM equations for a generic Einstein-Maxwell-scalar background and use these to compute the QNMs of the asymptotically anti-de Sitter Reissner-Nordstr\\"{o}m black brane, as a further illustration and check of the method.

研究の動機と目的

• ブラックホールおよびブレーンの準正規モード（QNMs）を、漸近的構造や方程式の複雑さに関係なく、一般的かつ使いやすいMathematicaパッケージとして開発すること。
• スペクトル離散化を用いてQNM方程式を一般固有値問題に変換することで、QNMスペクトルの効率的かつ高精度な数値計算を可能にすること。
• 特に純虚数（過減衰）モードを含む、従来の文献で見過ごされていた準正規モードを同定・分析すること、特にシュワルツシルト＝デ・シーターモンドブラックホールにおけるものである。
• スカラー摂動に対するシュワルツシルト-AdS、シュワルツシルト＝デ・シーターモンド、および漸近平坦時空への応用を通じて、手法の妥当性を検証すること。また、AdS内のレイスナー＝ノールストロムブラックブレーンに対しても検証を行う。
• 研究者による教育的および高度な研究的利用を想定し、完全なドキュメンテーションと拡張性を備えたツールを提供すること。

提案手法

• スペクトルコロケーション技法を用いてQNM方程式を離散化し、(A - ω²B)v = 0 の形の一般固有値問題に変換する。
• パッケージはQNM方程式を入力として受け取り、自動的に結合系、任意の周波数依存性、およびさまざまな境界条件を処理する。
• 滑らかな解やホライズン・無限遠点における特異性を示す問題に特に適した、高精度かつ高効率なスペクトル法を適用する。
• 境界条件は、ホライズンで流入波、無限遠点で適切な漸近的挙動（放射波または有限）を仮定することで強制される。これは時空の性質に応じて異なる。
• この手法は漸近的構造に依存せず、漸近平坦、デ・シーターモンド、および反デ・シーターモンド時空に一般に適用可能である。
• チュートリアル、完全なドキュメンテーション、数値的バックグラウンドのサポートを備えており、複雑または解析的でない解に対しても適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュワルツシルト＝デ・シーターモンドブラックホールに純虚数の準正規モードが存在するか？その構造的性質と物理的意義は何か？
• RQ2 一般用途の数値的手法が、デ・シーターモンドおよび反デ・シーターモンド時空を含む、さまざまな漸近的性質においてQNMを高精度に計算できるか？
• RQ3 AdS内のレイスナー＝ノールストロムブラックブレーンのQNMスペクトルは、既知の流体力学的モードや高次モードとどのように比較できるか？
• RQ4 複雑な結合を有するQNM方程式に対して、スペクトル離散化が一般固有値問題を効率的に解く役割を果たすか？
• RQ5 高次周波数依存性や結合された方程式を有する系に対しても、この手法が信頼性を持ってQNMを計算できるか？

主な発見

• 4次元シュワルツシルト＝デ・シーターモンドブラックホールのスカラー摂動において、無限個の純虚数的・過減衰モードが存在することが判明した。これは従来の文献で報告されていなかった特徴である。
• ΛM² = 0.02 の場合、l=1 モードの主要モードは ωM = 0.26028785 - 0.09100254i であり、l=2 モードにはサブドミナントモードとして ωM = 0.42083979 - 0.26859762i が存在する。
• この手法は、シュワルツシルト＝デ・シーターモンドブラックホールの既知のQNM周波数を非常に高い精度で再現し、6次WKB結果と一致する。新規の純虚数モードも含めて一致している。
• Q/Qextr = 1/2 および q/πT = 1.5 の場合、AdS5内のレイスナー＝ノールストロムAdSブラックブレーンの最初のスピン2モードは ω/πT = 4.5842653 - 4.5115101i であり、高次モードでは虚数部が増加している。
• レイスナー＝ノールストロムブラックブレーンの流体力学的モードは正しく再現されている：せん断モード ω/πT = -0.29171230i、音響モード ω/πT = 0.90170632 - 0.19067682i、電荷モード ω/πT = -0.76581370i。
• 一般的バックグラウンドにおけるアインシュタイン＝マクスウェル＝スカラー系に対してもQNMが成功裏に計算され、既知の結果と整合しており、パッケージの堅牢性が検証された。