[論文レビュー] Overdetermined 2D Systems Invariant in One Direction and Their Transfer Functions

Andrey Melnikov, Victor Vinnikov|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、1つの変数（時間）に関して不変な過決定2次元系のための船理論を構築し、古典的な1次元系理論を一般化する。特徴的な伝達関数のクラス $oldsymbol{\/mathcal{I}}$ を導入し、スペクトルパラメータを含む常微分方程式の解を関連付ける。また、極の三重組と結合条件を用いて、このような伝達関数が再構成可能であることを示すミタグ・レフラー型の実現定理を確立し、時間変化する2次元系への因数分解および実現理論を、スペクトルパラメータ依存性を含めて拡張する。

ABSTRACT

In this work we develop a theory of Vessels. This object arises in the study of overdetermined 2D systems invariant in one of the variables, which are usually called time invariant. To each overdetermined time invariant 2D systems there is associated a vessel, which is a collection of system operators satisfying certain relations and vise versa. Such an invariance forces the theory of vessels to resemble a constant (classical) 1D case and as a result many notions are naturally redefined and most theorems are reproved in this setting. The notion of transfer function and its connection to the overdetermined 2D time invariant system (and the corresponding vessel) is one of the topics of this work. It is well known that multiplicative structure of a transfer function of a 1D system is closely connected to the decomposition of the state space into invariant subspaces of the state operator and we generalize this result to a wider class of functions. This class (denoted by $\boldsymbol {\mathcal I}$) arises as a class of transfer functions, which intertwine solutions of ODEs with spectral parameters. At the end we present solution of factorization problems for finite dimensional case.

研究の動機と目的

• 1方向（例：時間）に関して不変な過決定2次元系のための船理論的枠組みを構築し、古典的な1次元系理論を一般化すること。
• スペクトルパラメータを含む常微分方程式の解を関連付ける伝達関数のクラス $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ を定義し、1次元系における乗法的構造の結果を拡張すること。
• スペクトルパラメータを含む極の三重組と微分方程式を用いて、$\boldsymbol{\mathcal{I}}$ に属する解析的行列関数の実現定理を確立すること。
• 有限次元の場合に因数分解問題を解くために、極データと結合条件から伝達関数を再構成すること。

提案手法

• 2次元系の統合形に基づき、ヒルベルト空間と半群の連続族を構築し、演算子に対する仮定を弱める。
• 船は、特定の代数的および微分的関係（適合性条件およびゲージ準同型性）を満たすシステム演算子の集合として定義される。
• 伝達関数 $S(\lambda, t_2)$ は、$D(t_2) + C(t_2)(\lambda I - A_1(t_2))^{-1}B_1(t_2)\sigma_1(t_2)$ として定義され、ここで $A_1(t_2)$, $C(t_2)$, $B_1(t_2)$, $D(t_2)$ はスペクトルパラメータ $\lambda$ を含む常微分方程式を満たす。
• クラス $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ は、スペクトルパラメータを含む常微分方程式の解を関連付ける関数からなる。1次元系における乗法的構造を一般化する。
• 結合条件（2.10.Link）が導出され、伝達関数 $S(\lambda, t_2)$ が同じスペクトルパラメータ $\lambda$ を持つ別の常微分方程式の解を写像することを保証する。
• ミタグ・レフラー型の実現定理が証明された：定数のスペクトル行列 $A$、変化する $C(t_2)$、$B(t_2)\sigma_1(t_2)$、および解析的関数 $D(t_2)$ が常微分方程式および結合条件を満たすならば、伝達関数 $S(\lambda, t_2)$ は完全に再構成可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルパラメータ $\lambda$ と時間変数 $t_2$ に依存する2次元時不変系の伝達関数は、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 リゾルベント表現で定義された行列関数 $S(\lambda, t_2)$ が、同じ $\lambda$ を持つ常微分方程式の解を、別の常微分方程式の解へ写像するための条件は何か？
• RQ3 クラス $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ に属する伝達関数は、その極の三重組と関連する微分方程式から再構成可能か？
• RQ4 結合条件は、システム演算子の時間発展と伝達関数のダイナミクスの整合性を保つために果たす役割は何か？
• RQ5 本理論は、古典的な1次元系の実現および因数分解定理を、2次元時不変でスペクトルパラメータに依存する設定にどのように一般化するか？

主な発見

• 時間 $t_1$ に関して不変な2次元系の伝達関数 $S(\lambda, t_2)$ は、$D(t_2) + C(t_2)(\lambda I - A_1(t_2))^{-1}B_1(t_2)\sigma_1(t_2)$ として定義され、$A_1(t_2)$, $C(t_2)$, $B_1(t_2)$, $D(t_2)$ はスペクトルパラメータ $\lambda$ を含む常微分方程式に従って変化する。
• クラス $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ は、スペクトルパラメータを含む常微分方程式の解を関連付けることで、1次元系における乗法的構造を一般化し、古典的因数分解理論を拡張する。
• ミタグ・レフラー型の実現定理が確立された：定数のスペクトル行列 $A$、変化する $C(t_2)$、$B(t_2)\sigma_1(t_2)$、および解析的関数 $D(t_2)$ が出力および逆入力の常微分方程式を満たすならば、伝達関数 $S(\lambda, t_2)$ は完全に決定される。
• 結合条件（2.10.Link）は、$S(\lambda, t_2)$ が常微分方程式の写像においてスペクトルパラメータ $\lambda$ を保存することを保証するための必要十分条件であり、時間発展全体にわたる整合性を保証する。
• 伝達関数は $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\gamma$, $\gamma_*$ を含む微分方程式（8.7）を満たし、これはシステムの適合性およびゲージ準同型性構造に同等である。
• システム演算子が常微分方程式および結合条件を満たす限り、極の三重組からの $S(\lambda, t_2)$ の再構成が可能であり、有限次元の実現および因数分解理論を2次元時不変系に一般化する。